Exercício 2.4.8. Determine
para que a série seja convergente.
f)
f)
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os
tais que a série
é convergente.
Informações dadas:
E a série soma esses quocientes multiplicados por
. O domínio a investigar é
.
Passo 2
Primeiro vamos reescrever o termo geral da série de uma forma mais manejável. Denotando por
o produto dos ímpares até
e por
o produto dos pares até
, temos
Agora use uma identidade conhecida (que vou explicar):
e
Substituindo isto no quociente,
Observação rápida sobre as identidades usadas:
é o produto
. A relação entre
,
e
vem de fatorar os termos pares e ímpares do fatorial
.
Passo 3
Use a relação com o coeficiente binomial central. Lembrando que
temos
Logo o termo geral da série é
Assim a série original fica
Passo 4
Escolhemos o Teste da Razão (ratio test) para estudar convergência porque temos um termo com
no expoente e fatorial/binomial — o teste da razão costuma ser direto e eficaz nessas situações. Vou lembrar o que diz o teste:
Se
é o termo geral positivo da série, e o limite
existe, então
- se
a série converge absolutamente; - se
a série diverge; - se
o teste é inconclusivo.
Aplicaremos isto ao
acima.
Passo 5
Calcule a razão
. Começando de
obtemos
Agora calcule a razão dos binomiais:
Portanto
Passo 6
Simplifique a expressão e tome o limite quando
. Note que
, então
Assim
Agora o limite:
Portanto pelo teste da razão o parâmetro relevante é
: a série converge se
e diverge se
. Como estamos com
, isso significa convergência quando
e divergência quando
. O caso
dá
e o teste da razão é inconclusivo — precisamos analisar separadamente.
Passo 7
Análise do caso de fronteira
. Para
o termo geral torna-se
É útil usar a aproximação assintótica dos coeficientes binomiais centrais (fórmula de Stirling). A fórmula de Stirling diz, de forma intuitiva e suficiente aqui, que
Aplicando Stirling para
e
numa combinação que forma
, obtém-se a estimativa clássica
Substituindo em
para
,
Portanto
é equivalente a
para grande
. Como a série
diverge (é uma p-série com
), conclui-se que a série com
diverge.
Se preferir uma justificativa menos dependente da fórmula completa de Stirling, basta saber que
cresce em torno de
, o que dá o mesmo comportamento e a mesma conclusão.
Passo 8
Juntando tudo:
- para
temos e pelo teste da razão a série converge; - para
a série diverge (termos com ordem ); - para
temos e pelo teste da razão a série diverge.
Como a pergunta solicitava
, a resposta é: a série converge exatamente para
.