Exercício 2.4.8. Determine x>0 para que a série seja convergente.
g) \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot(2 k-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2 k} \cdot \frac{x^{2 k+1}}{2 k+1}

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores de x>0 para os quais a série abaixo é convergente:
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1\cdot2\cdot3\cdots(2k-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots 2k}\cdot\frac{x^{2k+1}}{2k+1}.
Informações dadas importantes:
  • O produto do numerador é o produto dos k primeiros números ímpares até 2k-1.
  • O produto do denominador é o produto dos k primeiros números pares até 2k.
  • A variável está restrita a x>0.
    A nossa missão: encontrar o conjunto de x>0 em que a série converge.

Passo 2

Vamos reescrever o coeficiente de forma mais manejável. Definimos
a_k=\frac{1\cdot2\cdot3\cdots(2k-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots 2k}\cdot\frac{x^{2k+1}}{2k+1}.
Para simplificar o quociente de produtos, uso duas identidades padrão (expliquei por quê): o fatorial par e ímpar se escrevem com duplo fatorial:
(2k)!!=2\cdot4\cdot6\cdots(2k)=2^k k!
e
(2k-1)!!=1\cdot3\cdot5\cdots(2k-1)=\frac{(2k)!}{2^k k!}.
Substituindo essas expressões, o fator multiplicativo fica
\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}=\frac{\dfrac{(2k)!}{2^k k!}}{2^k k!}=\frac{(2k)!}{4^k (k!)^2}.
Reconhecemos aqui o coeficiente binomial central:
\frac{(2k)!}{(k!)^2}=\binom{2k}{k},
portanto
\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}=\frac{1}{4^k}\binom{2k}{k}.
Assim a série pode ser escrita como
\sum_{k=1}^{\infty} a_k=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{4^k}\binom{2k}{k}\cdot\frac{x^{2k+1}}{2k+1}.
Essa forma é mais conveniente para aplicar testes de convergência.

Passo 3

Aplicamos o critério da razão (teste da razão) para achar o raio de convergência em x. Lembrando o teste: se \lim_{k\to\infty}\left|\dfrac{a_{k+1}}{a_k}\right|=L, então a série convergirá absolutamente se L<1 e divergirará se L>1.
Calculo o quociente:
\frac{a_{k+1}}{a_k} =\frac{\dfrac{1}{4^{k+1}}\binom{2k+2}{k+1}\dfrac{x^{2k+3}}{2k+3}} {\dfrac{1}{4^{k}}\binom{2k}{k}\dfrac{x^{2k+1}}{2k+1}} =\frac{\binom{2k+2}{k+1}}{\binom{2k}{k}}\cdot\frac{1}{4}\cdot x^2\cdot\frac{2k+1}{2k+3}.
Agora simplifico a razão dos binomiais. Uso
\frac{\binom{2k+2}{k+1}}{\binom{2k}{k}} =\frac{(2k+2)!/( (k+1)! (k+1)! )}{(2k)!/(k!k!)} =\frac{(2k+2)(2k+1)}{(k+1)^2} =\frac{4k+2}{k+1}.
Substituindo,
\frac{a_{k+1}}{a_k} =\frac{4k+2}{k+1}\cdot\frac{1}{4}\cdot x^2\cdot\frac{2k+1}{2k+3}.
Reescrevendo de forma mais clara:
\frac{a_{k+1}}{a_k} =x^2\cdot\frac{(2k+1)^2}{2(k+1)(2k+3)}.
Tomando o limite quando k\to\infty:
\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| =\lim_{k\to\infty} x^2\cdot\frac{(2k+1)^2}{2(k+1)(2k+3)}=x^2\cdot 1=x^2.
Pelo teste da razão, a série converge absolutamente se x^2<1, isto é, se |x|<1, e diverge se |x|>1. Como estamos restringindo a x>0, concluímos provisoriamente que a série converge para 0<x<1 e diverge para x>1. Falta analisar o caso limite x=1.

Passo 4

Análise do caso x=1 (ponto na fronteira). Substituindo x=1 na forma simplificada obtemos a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{4^k}\binom{2k}{k}\cdot\frac{1}{2k+1}.
Para testar a convergência, preciso do comportamento assintótico do fator \dfrac{1}{4^k}\binom{2k}{k} quando k é grande. Uso a fórmula de Stirling (uma ferramenta padrão para analisar fatoriais para grandes n):
n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\quad\text{quando }n\to\infty.
Aplicando Stirling a (2k)! e a k!, obtemos (passo a passo):
(2k)!\sim\sqrt{4\pi k}\left(\frac{2k}{e}\right)^{2k}, \qquad k!\sim\sqrt{2\pi k}\left(\frac{k}{e}\right)^{k}.
Então
\binom{2k}{k}=\frac{(2k)!}{(k!)^2}\sim \frac{\sqrt{4\pi k}\left(\frac{2k}{e}\right)^{2k}} {\biggl(\sqrt{2\pi k}\left(\frac{k}{e}\right)^{k}\biggr)^2} =\frac{\sqrt{4\pi k}\,2^{2k}k^{2k}e^{-2k}}{2\pi k\,k^{2k}e^{-2k}} =\frac{4^k}{\sqrt{\pi k}}.
Portanto
\frac{1}{4^k}\binom{2k}{k}\sim\frac{1}{\sqrt{\pi k}}\qquad (k\to\infty).
Voltando ao termo geral quando x=1:
\frac{1}{4^k}\binom{2k}{k}\cdot\frac{1}{2k+1}\sim\frac{1}{\sqrt{\pi k}}\cdot\frac{1}{2k}\asymp \frac{1}{k^{3/2}}.
Como a série \sum k^{-3/2} é convergente (série p com p=\tfrac{3}{2}>1), pela comparação assintótica concluímos que a série com x=1 também converge. Logo o ponto de fronteira x=1 está incluído no conjunto de convergência.

Passo 5

Conclusão final para x>0: a série converge para todos os x tais que 0<x\le 1 e diverge para x>1. (O caso x=0 daria termos nulos exceto o primeiro, mas o enunciado pede x>0.)

Resposta

A série converge exatamente para 0<x\le 1.

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