Essa forma é mais conveniente para aplicar testes de convergência.
Passo 3
Aplicamos o critério da razão (teste da razão) para achar o raio de convergência em x. Lembrando o teste: se \lim_{k\to\infty}\left|\dfrac{a_{k+1}}{a_k}\right|=L, então a série convergirá absolutamente se L<1 e divergirará se L>1.
Pelo teste da razão, a série converge absolutamente se x^2<1, isto é, se |x|<1, e diverge se |x|>1. Como estamos restringindo a x>0, concluímos provisoriamente que a série converge para 0<x<1 e diverge para x>1. Falta analisar o caso limite x=1.
Passo 4
Análise do caso x=1 (ponto na fronteira). Substituindo x=1 na forma simplificada obtemos a série
Para testar a convergência, preciso do comportamento assintótico do fator \dfrac{1}{4^k}\binom{2k}{k} quando k é grande. Uso a fórmula de Stirling (uma ferramenta padrão para analisar fatoriais para grandes n):
Como a série \sum k^{-3/2} é convergente (série p com p=\tfrac{3}{2}>1), pela comparação assintótica concluímos que a série com x=1 também converge. Logo o ponto de fronteira x=1 está incluído no conjunto de convergência.
Passo 5
Conclusão final para x>0: a série converge para todos os x tais que 0<x\le 1 e diverge para x>1. (O caso x=0 daria termos nulos exceto o primeiro, mas o enunciado pede x>0.)