é convergente. Informações dadas e observações imediatas: o denominador é o produto dos inteiros de 1 até 2k+1, ou seja
1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot(2k+1)=(2k+1)!.
Portanto podemos reescrever a série como
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{x^{k}}{(2k+1)!}.
Passo 2
Escolhendo o método: aqui o termo geral tem fatorial no denominador e potências de x no numerador; uma ferramenta natural e simples é o teste da razão (ratio test), que é fácil de aplicar e normalmente resolve séries com fatoriais. Vou explicar o teste da razão antes de aplicar: para uma série com termos a_k (complexos ou reais), definimos
Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 a série diverge; se L=1 o teste é inconclusivo. Aqui queremos aplicar isso aos termos
a_k=\frac{x^{k}}{(2k+1)!}.
Nota: por “convergir” em questões de séries de números reais costumamos verificar convergência absoluta; se a série converge absolutamente então converge.
Passo 3
Calculemos a razão \left|\dfrac{a_{k+1}}{a_k}\right|. Como x>0 (dado) não precisamos do valor absoluto no numerador, mas usarei a notação geral:
Interpretação pelo teste da razão: como L=0<1, a série converge absolutamente. A dedução não usou nenhuma condição especial sobre o valor positivo de x exceto que x fosse finito; para qualquer x\in\mathbb{R} fixo (portanto em particular para todo x>0) o limite L é 0. Logo a série converge para todo x>0.
Intuição extra (curta e amiga): o denominador (2k+1)! cresce muito mais rápido que qualquer potência x^{k}. Isso faz com que os termos do somatório tendam a zero muito rapidamente e garante a convergência. Uma comparação mental: séries como \sum x^k/k! convergem para todo x (são relacionadas à série da exponencial); aqui temos um fatorial ainda maior (2k+1)!, então a convergência é ainda mais forte.