Exercício 2.4.7. Determine x>0 para que a série seja convergente.
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{x^{k}}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot(2 k+1)};

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores de x>0 para os quais a série
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{x^{k}}{1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot(2k+1)}
é convergente. Informações dadas e observações imediatas: o denominador é o produto dos inteiros de 1 até 2k+1, ou seja
1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot(2k+1)=(2k+1)!.
Portanto podemos reescrever a série como
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{x^{k}}{(2k+1)!}.

Passo 2

Escolhendo o método: aqui o termo geral tem fatorial no denominador e potências de x no numerador; uma ferramenta natural e simples é o teste da razão (ratio test), que é fácil de aplicar e normalmente resolve séries com fatoriais. Vou explicar o teste da razão antes de aplicar: para uma série com termos a_k (complexos ou reais), definimos
L=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|.
Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 a série diverge; se L=1 o teste é inconclusivo. Aqui queremos aplicar isso aos termos
a_k=\frac{x^{k}}{(2k+1)!}.
Nota: por “convergir” em questões de séries de números reais costumamos verificar convergência absoluta; se a série converge absolutamente então converge.

Passo 3

Calculemos a razão \left|\dfrac{a_{k+1}}{a_k}\right|. Como x>0 (dado) não precisamos do valor absoluto no numerador, mas usarei a notação geral:
\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| = \frac{x^{\,k+1}/(2(k+1)+1)!}{x^{\,k}/(2k+1)!} = x\cdot\frac{(2k+1)!}{(2k+3)!}.
Agora simplificamos a relação entre fatoriais. Lembre que (2k+3)!=(2k+3)(2k+2)(2k+1)!. Assim
\frac{(2k+1)!}{(2k+3)!}=\frac{1}{(2k+3)(2k+2)}.
Portanto
\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=x\cdot\frac{1}{(2k+3)(2k+2)}.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando k\to\infty:
L=\lim_{k\to\infty} x\cdot\frac{1}{(2k+3)(2k+2)}.
O fator (2k+3)(2k+2) cresce como 4k^2 quando k é grande, portanto esse produto tende a +\infty. Assim o quociente tende a 0. Mais formalmente,
L=x\cdot\lim_{k\to\infty}\frac{1}{(2k+3)(2k+2)}=x\cdot 0 = 0.

Passo 5

Interpretação pelo teste da razão: como L=0<1, a série converge absolutamente. A dedução não usou nenhuma condição especial sobre o valor positivo de x exceto que x fosse finito; para qualquer x\in\mathbb{R} fixo (portanto em particular para todo x>0) o limite L é 0. Logo a série converge para todo x>0.
Intuição extra (curta e amiga): o denominador (2k+1)! cresce muito mais rápido que qualquer potência x^{k}. Isso faz com que os termos do somatório tendam a zero muito rapidamente e garante a convergência. Uma comparação mental: séries como \sum x^k/k! convergem para todo x (são relacionadas à série da exponencial); aqui temos um fatorial ainda maior (2k+1)!, então a convergência é ainda mais forte.

Resposta

Para todo x>0 a série converge.

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