Exercício 2.4.8. Determine x>0 para que a série seja convergente.
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{x^{k}}{k!};

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores de x>0 para os quais a série
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{x^{k}}{k!}
é convergente. Informações dadas e observações imediatas: cada termo da série é
a_k=\frac{x^{k}}{k!},
e, para x>0, os termos são positivos. Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Escolha do método: vou usar o Teste da Razão (ou Critério da Razão). Justificativa curta e amigável: quando aparece fatorial ( k!) é quase sempre eficiente comparar termos consecutivos, porque k! simplifica bem ao formar a razão \dfrac{a_{k+1}}{a_k}. Esse teste é simples de aplicar aqui e dá uma conclusão clara.

Passo 3

Enunciado do Teste da Razão (forma que vamos usar): para uma série de termos positivos \sum a_k, calcule
L=\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k}.
Se L<1 então a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo. Vou aplicar isso à nossa sequência \{a_k\}.

Passo 4

Calcular a razão entre termos consecutivos. Tomando a_k=\dfrac{x^k}{k!}, temos
\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{\dfrac{x^{k+1}}{(k+1)!}}{\dfrac{x^k}{k!}}.
Agora simplifico: o x^k cancela em parte e o k! também, resultando em
\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}\cdot\frac{k!}{x^k}=\frac{x}{k+1}.

Passo 5

Calcular o limite do quociente quando k\to\infty. Para x fixo e positivo,
L=\lim_{k\to\infty}\frac{x}{k+1}.
Como o denominador k+1 cresce sem limite e o numerador x é constante, esse limite é
L=0.
Explicação amigável: pense assim — k! cresce muito mais rápido que x^k, então a razão entre termos vai para zero.

Passo 6

Conclusão pelo Teste da Razão: como L=0<1, a série converge absolutamente para qualquer valor fixo de x>0. Ou seja, para todo x>0 a série é convergente. (Breve incentivo: isso mostra que factorial vence potência — por isso séries com k! no denominador costumam convergir fácil.)

Resposta

A série converge para todo x>0.

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