Exercício 2.4.8. Determine
para que a série seja convergente.
;
Passo 1
O enunciado pede: determinar os valores de
para os quais a série
é convergente. Informações dadas e observações imediatas: cada termo da série é
e, para
, os termos são positivos. Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Escolha do método: vou usar o Teste da Razão (ou Critério da Razão). Justificativa curta e amigável: quando aparece fatorial (
) é quase sempre eficiente comparar termos consecutivos, porque
simplifica bem ao formar a razão
. Esse teste é simples de aplicar aqui e dá uma conclusão clara.
Passo 3
Enunciado do Teste da Razão (forma que vamos usar): para uma série de termos positivos
, calcule
Se
então a série converge absolutamente; se
diverge; se
o teste é inconclusivo. Vou aplicar isso à nossa sequência
.
Passo 4
Calcular a razão entre termos consecutivos. Tomando
, temos
Agora simplifico: o
cancela em parte e o
também, resultando em
Passo 5
Calcular o limite do quociente quando
. Para
fixo e positivo,
Como o denominador
cresce sem limite e o numerador
é constante, esse limite é
Explicação amigável: pense assim —
cresce muito mais rápido que
, então a razão entre termos vai para zero.
Passo 6
Conclusão pelo Teste da Razão: como
, a série converge absolutamente para qualquer valor fixo de
. Ou seja, para todo
a série é convergente. (Breve incentivo: isso mostra que factorial vence potência — por isso séries com
no denominador costumam convergir fácil.)
Resposta
A série converge para todo
.