Exercício 4 A diferença entre conjuntos é definida por A-B=x mid x in A e x notin B.
(a) Mostre que A-B=A cap B^c.
(b) Mostre que (A-B) cup(B-A)=(A cup B)-(A cap B).

Passo 1

O enunciado define a diferença de conjuntos por
A - B = x mid xin A;e;xnotin B
e pede duas identidades envolvendo complemento, união e interseção. Vamos usar prova por dupla inclusão: mostrar para cada igualdade que todo elemento de um lado pertence também ao outro.

Passo 2

Provar a inclusão A - Bsubseteq Acap B^c.
Seja xin A-B. Pela definição de diferença, temos xin A e xnotin B. Mas xnotin B significa exatamente xin B^c. Portanto
xin Acap B^c
e assim A - Bsubseteq Acap B^c.

Passo 3

Provar a inclusão Acap B^csubseteq A-B.
Seja xin Acap B^c. Então xin A e xin B^c, isto é, xnotin B. Logo, pela definição, xin A-B. Assim obtemos
Acap B^csubseteq A-B
e concluímos que
A-B = Acap B^c

Passo 4

Provar (A-B)cup(B-A)subseteq (Acup B)-(Acap B).
Seja xin (A-B)cup(B-A). Então ou xin A-B ou xin B-A.
  • Se xin A-B, então xin A e xnotin B.
  • Se xin B-A, então xin B e xnotin A.
    Em qualquer caso xin Acup B e xnotin Acap B. Pela definição de diferença, isso dá
xin (Acup B)-(Acap B)

Passo 5

Provar (Acup B)-(Acap B)subseteq (A-B)cup(B-A).
Seja xin (Acup B)-(Acap B). Então xin Acup B e xnotin Acap B. Logo x pertence a A ou a B, mas não a ambos.
  • Se xin A e xnotin B, então xin A-B.
  • Se xin B e xnotin A, então xin B-A.
    Em qualquer caso xin (A-B)cup(B-A).

Passo 6

Como mostramos ambas as inclusões em cada parte, concluímos
(A-B)cup(B-A) = (Acup B)-(Acap B)

Resposta

(a)
A - B = A cap B^c
(b)
(A - B)cup(B - A) = (A cup B) - (A cap B)

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