Exercício 4 A diferença entre conjuntos é definida por
e
.
(a) Mostre que
.
(b) Mostre que
.
(a) Mostre que
(b) Mostre que
Passo 1
O enunciado define a diferença de conjuntos por
e pede duas identidades envolvendo complemento, união e interseção. Vamos usar prova por dupla inclusão: mostrar para cada igualdade que todo elemento de um lado pertence também ao outro.
Passo 2
Provar a inclusão
.
Seja . Pela definição de diferença, temos
e
. Mas
significa exatamente
. Portanto
Seja
e assim
.
Passo 3
Provar a inclusão
.
Seja . Então
e
, isto é,
. Logo, pela definição,
. Assim obtemos
Seja
e concluímos que
Passo 4
Provar
.
Seja . Então ou
ou
.
Seja
- Se
, então e . - Se
, então e .
Em qualquer casoe . Pela definição de diferença, isso dá
Passo 5
Provar
.
Seja . Então
e
. Logo
pertence a
ou a
, mas não a ambos.
Seja
- Se
e , então . - Se
e , então .
Em qualquer caso.
Passo 6
Como mostramos ambas as inclusões em cada parte, concluímos
Resposta
(a)
(b)