Exercício 7 Seja f: X Y uma função. A imagem inversa (ou pré-imagem) por de um conjunto B subset Y é o conjunto f^-1(B)=x in X mid f(x) in B.
(a) Mostre que f^-1(emptyset)=emptyset.
(b) Mostre que, para todo A subset X, A subset f^-1(f(A)).
(c) Mostre que, para todo B subset Y, f(f^-1(B)) subset B.
(d) Mostre que f é injetiva se, e somente se, A=f^-1(f(A)) para todo A subset X.
(e) Mostre que f é sobrejetiva se, e somente se, f(f^-1(B))=B para todo B subset Y.

Passo 1

Vamos resolver a parte (a) do exercício. O enunciado nos pede para mostrar que a imagem inversa de um conjunto vazio é o próprio conjunto vazio, ou seja, f^-1(emptyset) = emptyset . Para isso, vamos usar o conceito de imagem inversa de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a imagem inversa. Para uma função f: X Y e um conjunto B subset Y , a imagem inversa f^-1(B) é o conjunto de todos os elementos em X que são mapeados para elementos em B . Matematicamente, isso é definido como:
f^-1(B) = x in X mid f(x) in B
No nosso caso, B = emptyset , o conjunto vazio.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição ao nosso caso específico:
f^-1(emptyset) = x in X mid f(x) in emptyset
Isso significa que estamos procurando todos os x em X cuja imagem f(x) está no conjunto vazio.

Passo 4

Mas, por definição, não existem elementos no conjunto vazio. Ou seja, não há nenhum x que satisfaça f(x) in emptyset , porque o conjunto vazio não contém nenhum elemento.

Passo 5

Portanto, o conjunto f^-1(emptyset) não contém nenhum elemento, o que significa que ele é igual ao próprio conjunto vazio:
f^-1(emptyset) = emptyset

Resposta

f^-1(emptyset) = emptyset

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