Exercício 7 Seja
uma função. A imagem inversa (ou pré-imagem) por de um conjunto
é o conjunto
.
(a) Mostre que
.
(b) Mostre que, para todo
.
(c) Mostre que, para todo
.
(d) Mostre que
é injetiva se, e somente se,
para todo
.
(e) Mostre que
é sobrejetiva se, e somente se,
para todo
.
(a) Mostre que
(b) Mostre que, para todo
(c) Mostre que, para todo
(d) Mostre que
(e) Mostre que
Passo 1
Vamos resolver a parte (a) do exercício. O enunciado nos pede para mostrar que a imagem inversa de um conjunto vazio é o próprio conjunto vazio, ou seja,
. Para isso, vamos usar o conceito de imagem inversa de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a imagem inversa. Para uma função
e um conjunto
, a imagem inversa
é o conjunto de todos os elementos em
que são mapeados para elementos em
. Matematicamente, isso é definido como:
No nosso caso,
, o conjunto vazio.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição ao nosso caso específico:
Isso significa que estamos procurando todos os
em
cuja imagem
está no conjunto vazio.
Passo 4
Mas, por definição, não existem elementos no conjunto vazio. Ou seja, não há nenhum
que satisfaça
, porque o conjunto vazio não contém nenhum elemento.
Passo 5
Portanto, o conjunto
não contém nenhum elemento, o que significa que ele é igual ao próprio conjunto vazio: