Exercício 20 Existe a in N com a>1, tal que a função f: N N dada por f(n)=a^n seja uma bijeção?

Passo 1

O enunciado pergunta se existe algum ainN, com a>1, tal que a função
fcolon NtoN, f(n)=a^n
seja bijetora.
Conteúdo envolvido: definições de injetividade e sobrejetividade (bijetividade = injetiva + sobrejetiva) e propriedades das potências em N.

Passo 2

Verificamos injetividade. Suponha f(n1)=f(n2). Então
a^n1=a^n2
Como a>1, a função exponencial é estritamente crescente em N, daí necessariamente n1=n2.
Portanto, para todo a>1, f é injetiva.

Passo 3

Agora testamos sobrejetividade. Para f ser sobrejetiva, todo minN precisa ser da forma m=a^n para algum n. Mas observe:
  • Se N=1,2,3,dots, então f(1)=a>1, ou seja, 1 não está na imagem de f.
  • Mesmo se incluíssemos n=0 (i.e.\ N0), teríamos apenas potências de a, faltando na imagem quaisquer inteiros que não sejam potências de a (por exemplo, números primos diferentes de fatores de a, ou 3 quando a=2).
Em qualquer caso, existem infinitos naturais que não são potências de um dado a>1, logo f não é sobrejetiva.

Passo 4

Concluímos que, embora f(n)=a^n seja injetiva para todo a>1, ela jamais é sobrejetiva em N. Portanto não pode ser bijetora.

Resposta

Não existe nenhum a>1 em N tal que f(n)=a^n seja bijeção de N em N.

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