Exercício 20 Existe
com
, tal que a função
dada por
seja uma bijeção?
Passo 1
O enunciado pergunta se existe algum
, com
, tal que a função
seja bijetora.
Conteúdo envolvido: definições de injetividade e sobrejetividade (bijetividade injetiva
sobrejetiva) e propriedades das potências em
.
Conteúdo envolvido: definições de injetividade e sobrejetividade (bijetividade
Passo 2
Verificamos injetividade. Suponha
. Então
Como
, a função exponencial é estritamente crescente em
, daí necessariamente
.
Portanto, para todo ,
é injetiva.
Portanto, para todo
Passo 3
Agora testamos sobrejetividade. Para
ser sobrejetiva, todo
precisa ser da forma
para algum
. Mas observe:
- Se
, então , ou seja, não está na imagem de . - Mesmo se incluíssemos
(i.e.\ ), teríamos apenas potências de , faltando na imagem quaisquer inteiros que não sejam potências de (por exemplo, números primos diferentes de fatores de , ou quando ).
Em qualquer caso, existem infinitos naturais que não são potências de um dado
, logo
não é sobrejetiva.
Passo 4
Concluímos que, embora
seja injetiva para todo
, ela jamais é sobrejetiva em
. Portanto não pode ser bijetora.
Resposta
Não existe nenhum
em
tal que
seja bijeção de
em
.