Exercício 1) Diga, justificando, se os subconjuntos abaixo são abertos, fechados, limitados, compactos.
B=(x, y) in R^2 / x^2+y^2<1 ou x^2+y^2>4;

Passo 1

O enunciado pede para classificar, em R^2, se o conjunto
B = (x,y)mid x^2+y^2<1;cup;(x,y)mid x^2+y^2>4
é aberto, fechado, limitado e compacto. Vamos usar noções básicas de topologia em R^2: definição de aberto (vizinhas em disco aberto), fechado (complemento aberto), conjunto limitado e critério de Heine–Borel (compacto em R^2 Leftrightarrow fechado e limitado).

Passo 2

O disco interno x^2+y^2<1 é aberto porque em cada ponto com x^2+y^2<1 cabe um disco de raio positivo contido nele. Do mesmo modo, a região externa x^2+y^2>4 é aberta. Como B é união dessas duas partes, concluímos que B é aberto (união de abertos é aberto).

Passo 3

Para ver que B não é fechado, basta notar que seu complemento é
B^c = (x,y)mid 1<= x^2+y^2<= 4,
que é o “anel fechado” entre os círculos de raio 1 e 2. Esse anel não é aberto (os pontos em x^2+y^2=1 ou x^2+y^2=4 não têm disco totalmente contido em B^c), logo B^c não é aberto e portanto B não é fechado.

Passo 4

O conjunto B contém pontos com x^2+y^2 arbitrariamente grande (pois inclui toda a região externa a r=2), então não é limitado.

Passo 5

Em R^2 um conjunto é compacto se, e somente se, for fechado e limitado. Já vimos que B não é fechado nem é limitado, logo B não é compacto.

Resposta

B é aberto; não é fechado; não é limitado; não é compacto.

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