Exercício 1) Diga, justificando, se os subconjuntos abaixo são abertos, fechados, limitados, compactos.
ou
;
Passo 1
O enunciado pede para classificar, em
, se o conjunto
é aberto, fechado, limitado e compacto. Vamos usar noções básicas de topologia em
: definição de aberto (vizinhas em disco aberto), fechado (complemento aberto), conjunto limitado e critério de Heine–Borel (compacto em
fechado e limitado).
Passo 2
O disco interno
é aberto porque em cada ponto com
cabe um disco de raio positivo contido nele. Do mesmo modo, a região externa
é aberta. Como
é união dessas duas partes, concluímos que
é aberto (união de abertos é aberto).
Passo 3
Para ver que
não é fechado, basta notar que seu complemento é
que é o “anel fechado” entre os círculos de raio 1 e 2. Esse anel não é aberto (os pontos em
ou
não têm disco totalmente contido em
), logo
não é aberto e portanto
não é fechado.
Passo 4
O conjunto
contém pontos com
arbitrariamente grande (pois inclui toda a região externa a
), então não é limitado.
Passo 5
Em
um conjunto é compacto se, e somente se, for fechado e limitado. Já vimos que
não é fechado nem é limitado, logo
não é compacto.