Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Determine se as funções são ou não contínuas no ponto
Passo 1
O enunciado nos dá duas funções de duas variáveis e pede, em cada caso, (i) o limite quando (x,y)to(0,0) e (ii) se a função é contínua em (0,0). O conteúdo principal é limite de funções de várias variáveis e continuidade. Vamos usar (para f) o limite notório limuto0sin uu=1 e (para g) um argumento por coordenadas polares ou limites direcionais.
Passo 2
Analisando
f(x,y)=sin(xy)xypara (x,y)neq(0,0),
façamos a mudança de variável u=xy. Quando (x,y)to(0,0) temos uto0. Logo, pelo limite clássico,
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) =limuto0sin uu =1
Como f(0,0)=1 por definição, o valor do limite coincide com o valor da função no ponto. Portanto f é contínua em (0,0).
Passo 3
Analisando
g(x,y)=yraizx^2+y^2para (x,y)neq(0,0),
usamos coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta. Então
que independe de r e varia com theta. Como diferentes theta dão limites distintos (por exemplo theta=0 dá 0, theta=pi/2 dá 1), o limite não existe. Já que lim(x,y)to(0,0)g(x,y) não existe, não há como coincidir com g(0,0)=0. Logo g é descontínua em (0,0).
Resposta
Para f: lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=1, logo f é contínua em (0,0).
Para g: o limite não existe, logo g não é contínua em (0,0).