2 (2 pontos) Considere a superfície de revolução S=X(D), com parametrização X: D subset R^2 R^3 dada por
X(u, v)=(f(u) cos v, f(u) sin v, g(u)),
onde D=[a, b] times[0,2 pi]. A superfície S é obtida a partir da rotação da curva plana alpha:[a, b] R^3, dada por alpha(u)=(f(u), 0, g(u)), em torno do eixo z. Determine em termos de alpha (i.e., em termos das funções f e g ):
(a) Sob quais condições S é uma superfície regular.
(b) A área da superfície S.
(c) A aplicação normal de Gauss N(u, v), i.e., o campo normal unitário a S.
(d) A equação cartesiana do plano tangente a S no ponto X(u0, v0).

Passo 1

O enunciado trata de uma superfície de revolução
X(u,v) = l(f(u)cos v,;f(u)sin v,;g(u)r),
com (u,v)in D=[a,b]times[0,2pi].
O conteúdo é geometria de superfícies: vamos usar derivadas parciais, produto vetorial e fórmulas de área, normal e plano tangente para resolver os itens (a)–(d).

Passo 2

Para ver quando S é regular, calculamos as derivadas:
Xu = l(f'(u)cos v,;f'(u)sin v,;g'(u)r),
Xv = l(-f(u)sin v,;f(u)cos v,;0r)
O produto vetorial é
Xutimes Xv = i&j&k f'cos v&f'sin v&g' -fsin v&fcos v&0 = l(-g'(u)f(u)cos v,;-g'(u)f(u)sin v,;f(u)f'(u)r)
Seu módulo é
l|Xutimes Xvr| = f(u),raizf'(u)^2+g'(u)^2
Para que S seja regular precisamos que Xutimes Xvneq0, isto é
f(u)>0 e f'(u)^2+g'(u)^2neq0 forall,uin[a,b]

Passo 3

A área de S é
A(S) =integral duplaDl|Xutimes Xvr|,du,dv =integral0^2pi!!integrala^b f(u),raizf'(u)^2+g'(u)^2;du,dv
Como não há v na integranda, tira-se 2pi, ficando
A(S) =2piintegrala^bf(u),l|alpha'(u)r|,du,
onde alpha'(u)=(f'(u),0,g'(u)).

Passo 4

O campo normal unitário de Gauss é
N(u,v) =Xutimes Xv|Xutimes Xv| =1raizf'(u)^2+g'(u)^2 l(-g'(u)cos v,;-g'(u)sin v,;f'(u)r)

Passo 5

No ponto X(u0,v0) o plano tangente tem normal N(u0,v0) e satisfaz
N(u0,v0)cdotl(x,y,zl)-N(u0,v0)cdot X(u0,v0)=0
Escrevendo
N(u0,v0)=1raizf'^2+g'^2 l(-g'cos v0,;-g'sin v0,;f'r)|u0,
e X(u0,v0)=(fcos v0,fsin v0,g)|u0, obtemos
-g'(u0)l[xcos v0+ysin v0-f(u0)r] +f'(u0)l[z-g(u0)r]=0

Resposta

(a) S é regular se e somente se
f(u)>0 e f'(u)^2+g'(u)^2neq0 forall,uin[a,b]
(b)
A(S) =2piintegrala^bf(u),raizf'(u)^2+g'(u)^2;du
(c)
N(u,v) =1raizf'(u)^2+g'(u)^2 l(-g'(u)cos v,;-g'(u)sin v,;f'(u)r)
(d) Plano tangente em X(u0,v0):
-g'(u0)l[xcos v0+ysin v0-f(u0)r] +f'(u0)l[z-g(u0)r]=0

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