2 (2 pontos) Considere a superfície de revolução , com parametrização dada por
onde . A superfície é obtida a partir da rotação da curva plana , dada por , em torno do eixo . Determine em termos de (i.e., em termos das funções e ):
(a) Sob quais condições é uma superfície regular.
(b) A área da superfície .
(c) A aplicação normal de Gauss , i.e., o campo normal unitário a .
(d) A equação cartesiana do plano tangente a no ponto .
Passo 1
O enunciado trata de uma superfície de revolução
com .
O conteúdo é geometria de superfícies: vamos usar derivadas parciais, produto vetorial e fórmulas de área, normal e plano tangente para resolver os itens (a)–(d).
Passo 2
Para ver quando é regular, calculamos as derivadas:
O produto vetorial é
Seu módulo é
l|Xutimes Xvr| = f(u),raizf'(u)^2+g'(u)^2
Para que S seja regular precisamos que Xutimes Xvneq0, isto é