Exercício 1) Diga, justificando, se os subconjuntos abaixo são abertos, fechados, limitados, compactos.
D=(x, y) in R^2 /|x|<1,|y|<2;

Passo 1

O enunciado pede para classificar o conjunto
D = (x,y)inR^2 mid |x|<1,;|y|<2
em aberto, fechado, limitado e compacto. Vamos usar a topologia usual em R^2 e o Teorema de Heine–Borel (que diz que, em R^n, um conjunto é compacto se e somente se for fechado e limitado).

Passo 2

Para ver que D é aberto, note que D = (-1,1)times(-2,2). Cada intervalo aberto em R é aberto na topologia usual, e o produto de abertos em R^2 é aberto. Alternativamente, se (x0,y0)in D, então |x0|<1 e |y0|<2, logo podemos escolher
varepsilon = min,1-|x0|,;2-|y0|>0
e o disco aberto de raio varepsilon centrado em (x0,y0) fica totalmente dentro de D. Portanto, D é aberto.

Passo 3

Para ver que D não é fechado, basta observar que ele não contém os pontos de sua fronteira. A fronteira de D é
partial D = ,|x|=1,;|y|<=2,cup,,|x|<=1,;|y|=2,
e nenhum desses pontos satisfaz |x|<1 e |y|<2. Como há pontos-limite de D que não pertencem a D, concluímos que D não é fechado.

Passo 4

Para mostrar que D é limitado, basta estimar a norma de qualquer (x,y)in D:
|(x,y)| = raizx^2+y^2 <= raiz1^2 + 2^2 = raiz5
Logo todo ponto de D fica dentro da bola centrada na origem de raio raiz5, o que prova que D é limitado.

Passo 5

Pelo Teorema de Heine–Borel em R^2, um conjunto é compacto se, e somente se, for fechado e limitado. Como D é limitado mas não é fechado, segue que D não é compacto.

Resposta

D é aberto, não é fechado, é limitado e não é compacto.

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