Exercício 1) Diga, justificando, se os subconjuntos abaixo são abertos, fechados, limitados, compactos.
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Passo 1
O enunciado pede para classificar o conjunto
em aberto, fechado, limitado e compacto. Vamos usar a topologia usual em
e o Teorema de Heine–Borel (que diz que, em
, um conjunto é compacto se e somente se for fechado e limitado).
Passo 2
Para ver que
é aberto, note que
. Cada intervalo aberto em
é aberto na topologia usual, e o produto de abertos em
é aberto. Alternativamente, se
, então
e
, logo podemos escolher
e o disco aberto de raio
centrado em
fica totalmente dentro de
. Portanto,
é aberto.
Passo 3
Para ver que
não é fechado, basta observar que ele não contém os pontos de sua fronteira. A fronteira de
é
e nenhum desses pontos satisfaz
e
. Como há pontos-limite de
que não pertencem a
, concluímos que
não é fechado.
Passo 4
Para mostrar que
é limitado, basta estimar a norma de qualquer
:
Logo todo ponto de
fica dentro da bola centrada na origem de raio
, o que prova que
é limitado.
Passo 5
Pelo Teorema de Heine–Borel em
, um conjunto é compacto se, e somente se, for fechado e limitado. Como
é limitado mas não é fechado, segue que
não é compacto.