Exercício 1. Diga se as seguintes integrais impróprias são convergentes ou divergentes.
integral0^+infty r e^-r x d x, r>0

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a integral imprópria integral0^+infty r e^-r x , dx para r>0. O conteúdo é integrais impróprias do tipo I, onde o limite superior é infinito, e vamos usar a definição por limite para avaliá-la.

Passo 2

Aplicar a definição de integral imprópria do tipo I reescrevendo integral0^+infty r e^-r x , dx como limb to +infty integral0^b r e^-r x , dx. Essa é a forma padrão de verificar convergência.

Passo 3

Calcular a integral de 0 a b. Como a primitiva de r e^-r x em relação a x é - e^-r x, temos
integral0^b r e^-r x , dx = l[- e^-r xr]0^b = - e^-r b + 1 = 1 - e^-r b

Passo 4

Avaliar o limite quando b to +infty. Como r>0, limb to +infty e^-r b = 0, logo
limb to +infty l(1 - e^-r br) = 1
Isso mostra que a integral converge e seu valor é finito.

Resposta

A integral é convergente e seu valor é 1.

Exercícios relacionados