Integrar as equações diferenciais
y y^prime prime-(y^prime)^2+(y^prime)^3=0

Passo 1

A equação dada é y,y'' - (y')^2 + (y')^3 = 0. Note que não aparece x explicitamente, ou seja, podemos usar a técnica de redução de ordem definindo p = y' para transformar em uma ODE de primeira ordem em p(y).

Passo 2

Definimos p = dfracdydx. Pela regra de cadeia, temos y'' = dpdx = dpdydydx = pdpdy Substituindo na equação original, obtemos
y,pdpdy - p^2 + p^3 = 0

Passo 3

Observamos que p=0 (isto é, y'=0) leva à solução trivial y=constante. Para a parte não trivial, dividimos por p (supondo pneq0) e reescrevemos:
ydpdy = p(1-p)

Passo 4

Agora separamos variáveis:
dpp(1-p) = dyy

Passo 5

Usando frações parciais, 1/[p(1-p)] = 1/p + 1/(1-p), integramos ambos os lados:
integrall(1p + 11-pr)dp = integraldyy, o que dá
ln|p| - ln|1-p| = ln|y| + C1Longrightarrowp1-p = C1,y

Passo 6

Isolamos p:
p(1 + C1y) = C1yLongrightarrow p = C1y1 + C1y

Passo 7

Voltando a p = dy/dx, separamos de novo:
dydx = C1y1 + C1y Longrightarrow 1 + C1yC1y,dy = dx

Passo 8

Integramos em y e x:
integrall(1C1y + 1r)dy = integral dx Longrightarrow 1C1ln|y| + y = x + C2

Passo 9

Reorganizando obtemos a solução implícita geral.

Resposta

x = y + A,\ln|y| + B, com A e B constantes arbitrárias (além da solução trivial y = constante).

Exercícios relacionados