Integrar as equações diferenciais
Passo 1
A equação dada é
. Note que não aparece
explicitamente, ou seja, podemos usar a técnica de redução de ordem definindo
para transformar em uma ODE de primeira ordem em
.
Passo 2
Definimos
. Pela regra de cadeia, temos
Substituindo na equação original, obtemos
Passo 3
Observamos que
(isto é,
) leva à solução trivial
. Para a parte não trivial, dividimos por
(supondo
) e reescrevemos:
Passo 4
Agora separamos variáveis:
Passo 5
Usando frações parciais,
, integramos ambos os lados:
Passo 6
Isolamos
:
Passo 7
Voltando a
, separamos de novo:
Passo 8
Integramos em
e
:
Passo 9
Reorganizando obtemos a solução implícita geral.
Resposta
x = y + A,\ln|y| + B, com A e B constantes arbitrárias (além da solução trivial y = constante).