Integrar as equações diferenciais
y^prime prime prime y^prime-3 y^prime prime 2=0

Passo 1

Estamos diante da equação de terceira ordem:
y''',y' - 3 (y'')^2 = 0
O conteúdo é redução de ordem em equações diferenciais. Vamos usar a substituição de variável para diminuir a ordem.

Passo 2

Fazendo a substituição p = y', temos p' = y'' e p'' = y'''. Assim a equação original se reescreve como:
p,p'' - 3 (p')^2 = 0

Passo 3

Reorganizando a relação para agrupar derivadas semelhantes, obtemos:
p''p' = 3,p'p
Integrando em relação a x:
lnlvert p'rvert = 3lnlvert prvert + C1,
daí
p' = C,p^3,
onde C = e^C1 é constante.

Passo 4

Agora temos a equação separável dpdx = C,p^3. Separamos variáveis e integramos:
integral p^-3,dp = integral C,dx
-tfrac12 p^-2 = Cx + C2
ou seja
p^-2 = A x + B,
com constantes A=-2C e B=-2C2. Assim
p = 1raizAx + B

Passo 5

Finalmente, lembrando que p = y', integramos:
dydx = 1raizAx + B Longrightarrow y(x) = 2AraizAx + B + C3,
onde C3 é a última constante de integração.

Resposta

y(x) = \frac{2}{A} \sqrt{A x + B} + C_3, onde A, B e C_3 são constantes arbitrárias.

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