Exercício 1.6.2. Discuta a continuidade das seguintes funções:
g(x, y)=clraizx yx+y, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define
g(x,y)= raizxy,x+y,,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
e pede para discutir onde g é contínua. O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos identificar o domínio de definição de g, usar o fato de que quociente de funções contínuas é contínuo quando o denominador não zera, e depois examinar o limite em (0,0).

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) em que xy>=0 e x+yneq0, a função
(x,y)mapsto raizxy
é contínua (com domínio xy>=0) e
(x,y)mapsto x+y
é contínua e não anula nesse ponto. Logo,
g(x,y)=raizxyx+y
é quociente de funções contínuas com denominador não nulo, portanto é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0) de seu domínio.

Passo 3

Resta verificar a continuidade em (0,0). Precisamos ver se
lim(x,y)to(0,0)raizxyx+y
existe e vale 0. Tomemos aproximações pelo primeiro quadrante, por exemplo a reta y=kx com k>0 e xto0^+. Então
g(x,kx) =raizkx^2x(1+k) =raizk,|x|x(1+k) =raizk1+k,
pois em x>0 temos |x|=x. Esse valor depende do coeficiente k. Por exemplo:
  • para k=1 obtemos lim g(x,x)=tfrac12,
  • para k=2 obtemos lim g(x,2x)=tfracraiz23.
Como o limite depende do caminho, não existe limite único em (0,0).

Passo 4

Não há limite de g(x,y) quando (x,y)to(0,0), logo g não é contínua em (0,0).

Resposta

A função g é contínua em todo ponto de seu domínio exceto em (0,0), onde é descontínua.

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