e pede para discutir onde g é contínua. O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos identificar o domínio de definição de g, usar o fato de que quociente de funções contínuas é contínuo quando o denominador não zera, e depois examinar o limite em (0,0).
Passo 2
Para (x,y)neq(0,0) em que xy>=0 e x+yneq0, a função
(x,y)mapsto raizxy
é contínua (com domínio xy>=0) e
(x,y)mapsto x+y
é contínua e não anula nesse ponto. Logo,
g(x,y)=raizxyx+y
é quociente de funções contínuas com denominador não nulo, portanto é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0) de seu domínio.
Passo 3
Resta verificar a continuidade em (0,0). Precisamos ver se
lim(x,y)to(0,0)raizxyx+y
existe e vale 0. Tomemos aproximações pelo primeiro quadrante, por exemplo a reta y=kx com k>0 e xto0^+. Então