Exercício 1.6.2. Discuta a continuidade das seguintes funções:
h(x, y)=x ln (x y)

Passo 1

O enunciado pede para discutir a continuidade da função
h(x,y) = x ln(xy)
O conteúdo aqui é análise de funções de duas variáveis e uso de composições de funções contínuas.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio natural de h. A expressão ln(xy) só está definida quando
xy > 0
Logo, o domínio é
D = (x,y)inR^2 mid xy>0,
isto é, duas partes:
  1. x>0 e y>0,
  2. x<0 e y<0.

Passo 3

Dentro de D, as funções elementares
,(x,y)mapsto x, ,(x,y)mapsto xy e ln (num ponto real) são todas contínuas. Como produto e composição de funções contínuas também é contínuo, temos que
h(x,y)=xcdotlnl(xyr)
é contínuo em todo ponto de D.

Passo 4

Fora de D, h não está nem definida (pois ln(xy) não existe para xy<=0). Além disso, ao aproximar-se da fronteira xy=0 dentro de D, o argumento do log tende a zero e ln(xy)to -infty, de modo que não há possibilidade de estender h de forma contínua além de D.

Resposta

A função h(x,y)=xln(xy) é contínua exatamente no domínio
(x,y)inR^2:xy>0,
e não está definida nem pode ser estendida de forma contínua fora desse conjunto.

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