Exercício 2 Discuta, em função dos parâmetros e , os seguintes sistemas de equações lineares:
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema
x + 4y + 3z = 10, 2x + 7y - 2z = 10, x + 5y + alpha z = beta,
onde alpha e beta são parâmetros. O conteúdo é álgebra linear (sistemas lineares) e vamos usar o critério da matriz dos coeficientes: calcular o determinante para ver quando o sistema tem solução única e, em caso de determinante nulo, analisar a consistência pelo posto.
Se alpha neq 11, então det(A)=11-alphaneq0 e o sistema tem solução única para qualquer beta.
Passo 4
Se alpha = 11, então det(A)=0 e o sistema pode ser inconsistente ou ter infinitamente muitas soluções. Neste caso, as três equações tornam-se linearmente dependentes. De fato, para alpha=11 vemos que
(3ª eq) = 3times(1ª eq) - (2ª eq) ªªª
em termos dos coeficientes, e em termos dos termos independentes dá
beta = 3cdot 10 - 10 = 20
Passo 5
Logo, quando alpha = 11:
Se beta neq 20, o sistema fica inconsistente (não há solução).
Se beta = 20, a 3ª equação é redundante e o sistema tem posto 2 em 3 variáveis, portanto há infinitas soluções.
Resposta
1. alpha neq 11: solução única (independente de beta). 2. alpha = 11 e beta neq 20: sem solução. 3. alpha = 11 e beta = 20: infinitas soluções.