Exercício 2 Discuta, em função dos parâmetros alpha e beta, os seguintes sistemas de equações lineares:
c x + 4 y + 3 z = 1 0 2 x + 7 y - 2 z = 1 0 x + 5 y + alpha z = beta

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema
x + 4y + 3z = 10, 2x + 7y - 2z = 10, x + 5y + alpha z = beta,
onde alpha e beta são parâmetros. O conteúdo é álgebra linear (sistemas lineares) e vamos usar o critério da matriz dos coeficientes: calcular o determinante para ver quando o sistema tem solução única e, em caso de determinante nulo, analisar a consistência pelo posto.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
A = 1 & 4 & 3 2 & 7 & -2 1 & 5 & alpha
e calculamos
det(A) = 1cdotdet7 & -25 & alpha -4cdotdet2 & -21 & alpha +3cdotdet2 & 71 & 5
Fazendo as contas:
det(A) = (7alpha +10) -4(2alpha+2) +3(10-7) =7alpha+10 -8alpha -8 +9 =11 - alpha

Passo 3

Se alpha neq 11, então det(A)=11-alphaneq0 e o sistema tem solução única para qualquer beta.

Passo 4

Se alpha = 11, então det(A)=0 e o sistema pode ser inconsistente ou ter infinitamente muitas soluções. Neste caso, as três equações tornam-se linearmente dependentes. De fato, para alpha=11 vemos que
(3ª eq) = 3times(1ª eq) - (2ª eq) ªªª
em termos dos coeficientes, e em termos dos termos independentes dá
beta = 3cdot 10 - 10 = 20

Passo 5

Logo, quando alpha = 11:
  • Se beta neq 20, o sistema fica inconsistente (não há solução).
  • Se beta = 20, a 3ª equação é redundante e o sistema tem posto 2 em 3 variáveis, portanto há infinitas soluções.

Resposta

1. alpha neq 11: solução única (independente de beta).
2. alpha = 11 e beta neq 20: sem solução.
3. alpha = 11 e beta = 20: infinitas soluções.

Exercícios relacionados