(2,5 pontos) Considere o seguinte sistema de equações diferenciais ordinárias
binomx^prime primey^prime prime=(cc -k1+k2m1 & k2m1 k2m2 & -k2+k3m2 )binomxy
Transforme (1) num sistema de equações diferenciais ordinárias com uma matriz diagonal, para o caso particular k1=k2=k3=k e m1=m2=m.
Observação. Não se complique não se está pedindo que resolva (1).

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
binomx''y'' = -k1+k2m1 & k2m1 [6pt] k2m2 & -k2+k3m2 binomxy
e pede que, no caso k1=k2=k3=k e m1=m2=m, a gente transforme esse sistema num sistema diagonal (isto é, decoupled), sem precisar resolver as EDOs.]

Passo 2

Substituindo k1=k2=k3=k e m1=m2=m, a matriz de acoplamento vira
A=km-2 & 1 [4pt]1 & -2 ]

Passo 3

Para diagonalizar, achamos os autovalores de A. Resolvendo
det!l(A-lambda Ir) =det!l(tfrackm-2-mklambda & 1 [4pt]1 & -2-mklambdar) =0
equivale a
(-2-tfracmklambda)^2-1=0 ;Longrightarrow; tfracmklambda+2=pm1 ;Longrightarrow; lambda1=-tfrackm, lambda2=-tfrac3km ]

Passo 4

Agora achamos autovetores. Para temos
Para obtemos

Passo 5

Definimos as coordenadas normais e pela mudança de base
Como diagonaliza , o sistema vira

Passo 6

Portanto o sistema decoupled é
u''=-km,u, v''=-3km,v,
que são EDOs de segunda ordem independentes.

Resposta

O sistema transformado em coordenadas normais é
u''=-km,u, v''=-3km,v,
onde
;u=(x+y) e ;v=(x-y) (até fator de normalização).

Exercícios relacionados