Exercício 1) Discutir a continuidade das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede para discutir a continuidade da função
O conteúdo envolvido é continuidade de funções de duas variáveis e uso de limite em regiões diferentes do domínio.
Passo 2
Verificamos primeiro cada ramo isoladamente:
– Para , temos
, que é constante e portanto contínua nessa região aberta.
– Para , temos
. Como
e
são contínuas, a composição é contínua nessa região fechada.
– Para
– Para
Passo 3
Falta analisar a fronteira
. Seja um ponto
com
. Então
– Aproximando de dentro ( ),
– Aproximando de dentro (
– Aproximando de fora (
),
Como
, o limite não existe ao longo de todas as direções e não coincide com
. Logo há descontinuidade em cada ponto da circunferência de raio 1.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos com
e é descontinua exatamente na circunferência
.