Exercício 1) Discutir a continuidade das seguintes funções:
f(x, y)=cl2 & se x^2+y^2>1 raizx^2+y^2 & se x^2+y^2 <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para discutir a continuidade da função
f(x,y)= 2, & se x^2+y^2>1, raizx^2+y^2, & se x^2+y^2<=1
O conteúdo envolvido é continuidade de funções de duas variáveis e uso de limite em regiões diferentes do domínio.

Passo 2

Verificamos primeiro cada ramo isoladamente:
– Para (x,y)mid x^2+y^2>1, temos f(x,y)=2, que é constante e portanto contínua nessa região aberta.
– Para (x,y)mid x^2+y^2<=1, temos f(x,y)=raizx^2+y^2. Como (x,y)mapsto x^2+y^2 e tmapstoraizt são contínuas, a composição é contínua nessa região fechada.

Passo 3

Falta analisar a fronteira x^2+y^2=1. Seja um ponto (x0,y0) com x0^2+y0^2=1. Então
– Aproximando de dentro ( x^2+y^2<1),
lim(x,y)to(x0,y0),,x^2+y^2<1f(x,y) =lim(x,y)to(x0,y0)raizx^2+y^2 =raiz1=1
– Aproximando de fora ( x^2+y^2>1),
lim(x,y)to(x0,y0),,x^2+y^2>1f(x,y) =lim(x,y)to(x0,y0)2 =2
Como 1neq2, o limite não existe ao longo de todas as direções e não coincide com f(x0,y0)=1. Logo há descontinuidade em cada ponto da circunferência de raio 1.

Resposta

A função f é contínua em todos os pontos com x^2+y^2neq1 e é descontinua exatamente na circunferência x^2+y^2=1.

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