Mostre que: mathscrLt cos a t=s^2-a^2(s^2+a^2)^2, a in R.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função f(t)=tcos(a t), isto é, mostrar que
mathscrLtcos(a t)=s^2-a^2l(s^2+a^2r)^2!
O conteúdo aqui é a definição de transformada de Laplace e, em particular, a propriedade que relaciona multiplicação por t no domínio do tempo com derivação em s.

Passo 2

Primeiro lembramos a transformada de Laplace de cos(a t). Pela definição
mathscrLcos(a t) =integral0^inftye^-s tcos(a t),dt =ss^2+a^2

Passo 3

Usamos agora a propriedade de derivada em s:
mathscrLt,f(t)=-ddsl[mathscrLf(t)r]
Aplicando com f(t)=cos(a t) temos
mathscrLtcos(a t) =-dds!l(ss^2+a^2r)

Passo 4

Vamos derivar
g(s)=ss^2+a^2 Longrightarrow g'(s) =(1),(s^2+a^2)-s,(2s)(s^2+a^2)^2 =s^2+a^2-2s^2(s^2+a^2)^2 =a^2-s^2(s^2+a^2)^2
Portanto
mathscrLtcos(a t) =-g'(s) =s^2-a^2l(s^2+a^2r)^2

Resposta

boxedmathscrLtcos(a t)=s^2-a^2l(s^2+a^2r)^2, ainR

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