Verificar se as seguintes integrais convergem:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
converge ou diverge. Informação relevante que já temos do enunciado:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é
, portanto a integral é imprópria por causa do extremo infinito. - Para
o integrando é não-negativo (denominador positivo), então podemos aplicar testes de comparação com integrais p- tipo.
Passo 2
Lembrando um teste básico (o “teste p”): a integral
converge se, e somente se,
. Vou justificar rapidamente essa fórmula para você conseguir usar na prova.
Cálculo da integral de
(com
):
- Se
então e quando , ficando um número finito: converge. - Se
então não vai para zero (é infinito para e cresce logaritmicamente para ), então diverge.
No nosso caso, vamos comparar com
porque, para grandes
, o termo dominante em
é
, e
. Como
, a integral de
converge; vamos usar isso.
Passo 3
Vou usar o teste de comparação direta, que é bem simples e seguro na prova:
Para
temos
(pois
). Tomando raízes positivas:
Invertendo (denominadores positivos) obtemos
Como já vimos no passo anterior, a integral
converge (porque
). Pelo teste de comparação direta (se
e
converge, então
também converge), concluímos que a integral original converge.
Passo 4
Para ser mais concreto, calcule a integral de comparação e obtenha um limite superior prático:
Portanto, além de convergir, tem-se a estimativa
Passo 5
Como alternativa (opcional) de verificação, pode-se usar o teste da comparação por limite: calcular
que é um número finito e não nulo; pelo teste de comparação por limite a integral tem o mesmo comportamento (convergente) que
.
Resposta
Converge.