Verificar se as seguintes integrais convergem:
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{5 x^{2}+x^{3}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{5 x^{2}+x^{3}}}\,dx
converge ou diverge. Informação relevante que já temos do enunciado:
  • O integrando é \dfrac{1}{\sqrt{5x^{2}+x^{3}}}.
  • O intervalo de integração é [1,\infty), portanto a integral é imprópria por causa do extremo infinito.
  • Para x\ge 1 o integrando é não-negativo (denominador positivo), então podemos aplicar testes de comparação com integrais p- tipo.

Passo 2

Lembrando um teste básico (o “teste p”): a integral
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx
converge se, e somente se, p>1. Vou justificar rapidamente essa fórmula para você conseguir usar na prova.
Cálculo da integral de x^{-p} (com p\neq1):
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b} x^{-p}\,dx = \lim_{b\to\infty}\left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_{1}^{b} = \lim_{b\to\infty}\frac{b^{1-p}-1}{1-p}.
  • Se p>1 então 1-p<0 e b^{1-p}\to 0 quando b\to\infty, ficando um número finito: converge.
  • Se p\le 1 então b^{1-p} não vai para zero (é infinito para p<1 e cresce logaritmicamente para p=1), então diverge.
No nosso caso, vamos comparar com x^{-3/2} porque, para grandes x, o termo dominante em 5x^{2}+x^{3} é x^{3}, e 1/\sqrt{x^{3}}=x^{-3/2}. Como p=3/2>1, a integral de x^{-3/2} converge; vamos usar isso.

Passo 3

Vou usar o teste de comparação direta, que é bem simples e seguro na prova:
Para x\ge 1 temos 5x^{2}+x^{3} \ge x^{3} (pois 5x^{2}\ge 0). Tomando raízes positivas:
\sqrt{5x^{2}+x^{3}} \ge \sqrt{x^{3}} = x^{3/2}.
Invertendo (denominadores positivos) obtemos
0 \le \frac{1}{\sqrt{5x^{2}+x^{3}}} \le \frac{1}{x^{3/2}}.
Como já vimos no passo anterior, a integral
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3/2}}\,dx
converge (porque 3/2>1). Pelo teste de comparação direta (se 0\le f(x)\le g(x) e \int g converge, então \int f também converge), concluímos que a integral original converge.

Passo 4

Para ser mais concreto, calcule a integral de comparação e obtenha um limite superior prático:
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3/2}}\,dx = \lim_{b\to\infty}\left[\frac{x^{-1/2}}{-1/2}\right]_{1}^{b} = \lim_{b\to\infty} \left(-2b^{-1/2} + 2\right) = 2.
Portanto, além de convergir, tem-se a estimativa
0 \le \int_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{5x^{2}+x^{3}}}\,dx \le 2.

Passo 5

Como alternativa (opcional) de verificação, pode-se usar o teste da comparação por limite: calcular
\lim_{x\to\infty}\frac{\dfrac{1}{\sqrt{5x^{2}+x^{3}}}}{x^{-3/2}} = \lim_{x\to\infty}\frac{x^{3/2}}{\sqrt{5x^{2}+x^{3}}} = \lim_{x\to\infty}\sqrt{\frac{x^{3}}{5x^{2}+x^{3}}} = \sqrt{\lim_{x\to\infty}\frac{x}{5+x}}=1,
que é um número finito e não nulo; pelo teste de comparação por limite a integral tem o mesmo comportamento (convergente) que \int_{1}^{\infty}x^{-3/2}\,dx.

Resposta

Converge.

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