Exercício 4
Consideremos o sistema de equações
x-y+2 z=1 2 x+2 z=1 x-3 y+4 z=2
Este sistema admite solução? Em caso afirmativo, descrever explicitamente todas as soluções.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
x - y + 2z = 1, 2x + 2z = 1, x - 3y + 4z = 2,
que é um sistema de equações lineares em três incógnitas. Para resolver, vamos usar eliminação de Gauss: expressar algumas variáveis em termos de outras e verificar consistência.

Passo 2

Da segunda equação isolamos x. Temos
2x + 2z = 1
logo
x + z = tfrac12
e portanto
x = tfrac12 - z

Passo 3

Substituímos x = tfrac12 - z na primeira equação para encontrar y. A primeira equação é
x - y + 2z = 1
Fazendo a substituição,
l(tfrac12 - zr) - y + 2z = 1 Longrightarrow tfrac12 + z - y = 1 Longrightarrow -y + z = tfrac12
ou seja
y = z - tfrac12

Passo 4

Agora substituímos x = tfrac12 - z e y = z - tfrac12 na terceira equação
x - 3y + 4z = 2
Isso dá
l(tfrac12 - zr) - 3l(z - tfrac12r) + 4z = tfrac12 - z - 3z + tfrac32 + 4z = 2 + ( -z -3z +4z ) = 2
Como obtemos 2=2 para todo z, a terceira equação não impõe restrição adicional, indicando que o sistema é compatível e admite infinitas soluções.

Passo 5

Como z é livre, podemos chamar z = t, tinR. Então
x = tfrac12 - t, y = t - tfrac12, z = t

Resposta

(x,y,z) = l(tfrac12 - t,;t - tfrac12,;tr), tinR

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