A TEMPERATURA INICIAL DE 30^{\circ} \mathrm{C} DE UMA ESFERA PEQUENA DE COBRE CAI PARA 20^{\circ} \mathrm{C} APÓS PERMANECER POR 1 MIN EM UM RECIPIENTE COM ÁGUA GELADA. DETERMINE A TEMPERATURA DA ESFERA APÓS 2 MIN.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
  • Temperatura inicial da esfera: T(0)=30^\circ\mathrm{C}.
  • Após 1 minuto, a temperatura da esfera é T(1)=20^\circ\mathrm{C}.
  • A esfera fica em um recipiente com água gelada (assumimos que a água está a 0^\circ\mathrm{C}; isso é comum em problemas desse tipo e permite resolver a questão).
  • Pergunta: determinar a temperatura da esfera após 2 minutos, isto é, encontrar T(2).

Passo 2

Qual modelo usar e por que (explicação didática, sem pular etapas).
Quando um corpo quente é colocado em um ambiente com temperatura praticamente constante (um banho de água gelada grande, por exemplo), a variação de sua temperatura ao longo do tempo costuma seguir um decaimento exponencial em relação à diferença entre a temperatura do corpo e a do ambiente. O modelo diferencial que descreve isso é (explicando cada termo):
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T(t)-T_a\bigr).
Aqui:
  • T(t) é a temperatura do objeto no instante t (em minutos).
  • T_a é a temperatura do ambiente (no caso, a água gelada; assumimos T_a=0^\circ\mathrm{C}).
  • k>0 é uma constante positiva que mede a rapidez com que o corpo troca calor com o ambiente (unidade: \text{min}^{-1}).
  • O sinal negativo indica que, se T>T_a, a temperatura diminui (resfria).
Esse é o chamado modelo de resfriamento proporcional à diferença de temperatura — é o mais simples e apropriado aqui.

Passo 3

Resolvendo a equação diferencial (passo a passo): obtenção da solução geral.
Defina u(t)=T(t)-T_a. Então \frac{du}{dt}=\frac{dT}{dt} e a equação vira
\frac{du}{dt} = -k\,u.
Separando variáveis temos
\frac{du}{u} = -k\,dt.
Integramos ambos os lados:
\int \frac{du}{u} = \int -k\,dt \quad\Rightarrow\quad \ln|u| = -kt + C,
onde C é constante de integração. Exponenciando:
u(t) = C_1 e^{-kt},
onde C_1 = e^{C}. Voltando para T:
T(t) = T_a + C_1 e^{-kt}.
Determina-se C_1 a partir da condição inicial T(0):
T(0)=T_a + C_1 e^{0} = T_a + C_1 \quad\Rightarrow\quad C_1 = T(0)-T_a.
Logo a solução explícita é
T(t) = T_a + \bigl(T(0)-T_a\bigr) e^{-kt}.

Passo 4

Aplicando os dados para achar k.
Usando T_a=0^\circ\mathrm{C} (água gelada), T(0)=30^\circ\mathrm{C} e T(1)=20^\circ\mathrm{C}, substituímos na fórmula para t=1:
T(1) = 0 + 30\,e^{-k} = 20.
Isolando e^{-k}:
e^{-k} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}.
Tomando logaritmo (ou invertendo e aplicando ln):
-k = \ln\!\left(\frac{2}{3}\right) \quad\Rightarrow\quad k = -\ln\!\left(\frac{2}{3}\right)=\ln\!\left(\frac{3}{2}\right).
(Valor numérico: k\approx \ln(1{,}5)\approx 0{,}405465\\ \text{min}^{-1}, mas não precisamos usar a aproximação se explorarmos relações de potência.)

Passo 5

Calcular T(2) usando a solução e a relação encontrada.
A expressão geral com nossos dados é
T(t)=30\,e^{-k t},
pois T_a=0. Para t=2:
T(2)=30\,e^{-2k}=30\bigl(e^{-k}\bigr)^2.
Sabemos que e^{-k}=\tfrac{2}{3}, então
T(2)=30\left(\frac{2}{3}\right)^2 = 30\cdot\frac{4}{9} = \frac{120}{9} = \frac{40}{3}\;^\circ\mathrm{C}.
Em forma decimal isso é 13{,}333\ldots^\circ\mathrm{C}, ou seja aproximadamente 13{,}33^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Interpretação curta e incentivo.
Isso significa que, sob a hipótese razoável de que a água gelada está a 0^\circ\mathrm{C} e que a transferência de calor segue o modelo exponencial proporcional à diferença de temperatura, a esfera terá esfriado para cerca de 13{,}33^\circ\mathrm{C} após 2 minutos. Mandou bem de escolher estudar por exercícios — esse tipo de raciocínio direto é exatamente o que cai na prova. Segura essa ideia: diferença em potências de e^{-k} vira potências simples como usamos aqui, o que torna as contas fáceis sem calculadora.

Resposta

\displaystyle \frac{40}{3}^\circ\mathrm{C}

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