A TEMPERATURA INICIAL DE
DE UMA ESFERA PEQUENA DE COBRE CAI PARA
APÓS PERMANECER POR 1 MIN EM UM RECIPIENTE COM ÁGUA GELADA. DETERMINE A TEMPERATURA DA ESFERA APÓS 2 MIN.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
- Temperatura inicial da esfera:
. - Após
minuto, a temperatura da esfera é . - A esfera fica em um recipiente com água gelada (assumimos que a água está a
; isso é comum em problemas desse tipo e permite resolver a questão). - Pergunta: determinar a temperatura da esfera após
minutos, isto é, encontrar .
Passo 2
Qual modelo usar e por que (explicação didática, sem pular etapas).
Quando um corpo quente é colocado em um ambiente com temperatura praticamente constante (um banho de água gelada grande, por exemplo), a variação de sua temperatura ao longo do tempo costuma seguir um decaimento exponencial em relação à diferença entre a temperatura do corpo e a do ambiente. O modelo diferencial que descreve isso é (explicando cada termo):
Aqui:
-
é a temperatura do objeto no instante (em minutos). -
é a temperatura do ambiente (no caso, a água gelada; assumimos ). -
é uma constante positiva que mede a rapidez com que o corpo troca calor com o ambiente (unidade: ). - O sinal negativo indica que, se
, a temperatura diminui (resfria).
Esse é o chamado modelo de resfriamento proporcional à diferença de temperatura — é o mais simples e apropriado aqui.
Passo 3
Resolvendo a equação diferencial (passo a passo): obtenção da solução geral.
Defina
. Então
e a equação vira
Separando variáveis temos
Integramos ambos os lados:
onde
é constante de integração. Exponenciando:
onde
. Voltando para
:
Determina-se
a partir da condição inicial
:
Logo a solução explícita é
Passo 4
Aplicando os dados para achar
.
Usando
(água gelada),
e
, substituímos na fórmula para
:
Isolando
:
Tomando logaritmo (ou invertendo e aplicando ln):
(Valor numérico:
, mas não precisamos usar a aproximação se explorarmos relações de potência.)
Passo 5
Calcular
usando a solução e a relação encontrada.
A expressão geral com nossos dados é
pois
. Para
:
Sabemos que
, então
Em forma decimal isso é
, ou seja aproximadamente
.
Passo 6
Interpretação curta e incentivo.
Isso significa que, sob a hipótese razoável de que a água gelada está a
e que a transferência de calor segue o modelo exponencial proporcional à diferença de temperatura, a esfera terá esfriado para cerca de
após 2 minutos. Mandou bem de escolher estudar por exercícios — esse tipo de raciocínio direto é exatamente o que cai na prova. Segura essa ideia: diferença em potências de
vira potências simples como usamos aqui, o que torna as contas fáceis sem calculadora.