Exercício 4) A distribuição de temperatura em uma chapa retangular limitada pelas retas
é dada por
. Achar as temperaturas máxima e mínima, e os pontos onde elas ocorrem. Diga porque existem máximo e mínimo absolutos.
Passo 1
Resumindo: temos a função
definida no retângulo compacto
Queremos os extremos absolutos de
em
. Como
é polinomial (portanto contínua) e
é fechado e limitado, o Teorema de Weierstrass garante que existem máximo e mínimo absolutos. Para encontrá-los, calculamos os pontos críticos interiores (
) e depois examinamos os quatro lados do retângulo.
Passo 2
Procuramos pontos críticos interiores resolvendo
De
vem
, logo
(pois
). De
vem
. Assim os críticos interiores são
e
. Calculando
Passo 3
Analisamos as arestas verticais
e
.
Para
,
Avalia-se em
:
Para
,
Em
:
Passo 4
Agora as arestas horizontais
e
.
Para
,
Em
:
Para
,
Em
:
Passo 5
Reunindo todos os valores:
- Críticos interiores:
, . - Arestas: valores variando em
.
O menor valor é(em e em ), o maior é (em e em ).
Passo 6
Como
é contínua em
compacto, pelo Teorema de Weierstrass esses extremos são absolutos e ocorrem nos pontos listados.
Resposta
Temperatura mínima absoluta:
, ocorrendo em
e em
.
Temperatura máxima absoluta: , ocorrendo em
e em
.
Temperatura máxima absoluta: