Exercício 4) A distribuição de temperatura em uma chapa retangular limitada pelas retas x=0, x=2, y=-2, y=2 é dada por T(x, y)= x^3+y^3-3 x-3 y. Achar as temperaturas máxima e mínima, e os pontos onde elas ocorrem. Diga porque existem máximo e mínimo absolutos.

Passo 1

Resumindo: temos a função
T(x,y)=x^3+y^3-3x-3y
definida no retângulo compacto
D=(x,y)mid 0<= x<= 2,,-2<= y<= 2
Queremos os extremos absolutos de T em D. Como T é polinomial (portanto contínua) e D é fechado e limitado, o Teorema de Weierstrass garante que existem máximo e mínimo absolutos. Para encontrá-los, calculamos os pontos críticos interiores ( nabla T=0) e depois examinamos os quatro lados do retângulo.

Passo 2

Procuramos pontos críticos interiores resolvendo
partial Tpartial x=3x^2-3=0, partial Tpartial y=3y^2-3=0
De 3x^2-3=0 vem x^2=1, logo x=1 (pois x>=0). De 3y^2-3=0 vem y=pm1. Assim os críticos interiores são
(1,1) e (1,-1). Calculando
T(1,1)=1+1-3-3=-4, T(1,-1)=1-1-3+3=0

Passo 3

Analisamos as arestas verticais x=0 e x=2.
Para x=0,
T(0,y)=y^3-3y,
ddyT(0,y)=3y^2-3=0implies y=pm1
Avalia-se em y=-2,-1,1,2:
T(0,-2)=-8+6=-2, T(0,-1)=-1+3=2, T(0,1)=1-3=-2, T(0,2)=8-6=2
Para x=2,
T(2,y)=8+y^3-6-3y=y^3-3y+2,
ddyT(2,y)=3y^2-3=0implies y=pm1
Em y=-2,-1,1,2:
T(2,-2)=-8+6+2=0, T(2,-1)=-1+3+2=4, T(2,1)=1-3+2=0, T(2,2)=8-6+2=4

Passo 4

Agora as arestas horizontais y=-2 e y=2.
Para y=-2,
T(x,-2)=x^3-3x-8+6=x^3-3x-2,
ddxT(x,-2)=3x^2-3=0implies x=1
Em x=0,1,2:
T(0,-2)=-2, T(1,-2)=1-3-2=-4, T(2,-2)=8-6-2=0
Para y=2,
T(x,2)=x^3-3x+8-6=x^3-3x+2,
ddxT(x,2)=3x^2-3=0implies x=1
Em x=0,1,2:
T(0,2)=2, T(1,2)=1-3+2=0, T(2,2)=8-6+2=4

Passo 5

Reunindo todos os valores:
  • Críticos interiores: (1,1)mapsto -4, (1,-1)mapsto0.
  • Arestas: valores variando em -4,-2,0,2,4.
    O menor valor é -4 (em (1,1) e em (1,-2)), o maior é 4 (em (2,-1) e em (2,2)).

Passo 6

Como T é contínua em D compacto, pelo Teorema de Weierstrass esses extremos são absolutos e ocorrem nos pontos listados.

Resposta

Temperatura mínima absoluta: -4, ocorrendo em (1,1) e em (1,-2).
Temperatura máxima absoluta: 4, ocorrendo em (2,-1) e em (2,2).

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