Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral:
integral arcsen(ln (x))x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Para isso, vamos usar duas técnicas importantes de cálculo: substituição e integração por partes. A substituição vai ajudar a simplificar a integral, e a integração por partes vai nos permitir resolver a parte que fica mais complicada.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar:
t = ln(x)
Então, a derivada de dt = 1x , dx em relação a 1x , dx = dt é:
integral arcsen(t) , dt
Isso significa que:
Agora, substituindo na integral original, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral usando integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • (porque é a parte que queremos derivar)
  • du = 1raiz1 - t^2 , dt (porque é mais fácil de integrar)
Então, derivando v = t e integrando , obtemos:

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Agora, precisamos resolver a integral que ficou:
integral arcsen(t) , dt = t cdot arcsen(t) - integral t cdot 1raiz1 - t^2 , dt

Passo 5

Para resolver a integral w = 1 - t^2 , fazemos outra substituição:
dw = -2t , dt
-12 , dw = t , dt
integral traiz1 - t^2 , dt = -12 integral 1raizw , dw
Substituindo na integral:
-12 cdot 2 raizw + C = -raizw + C
Resolvendo a integral:
-raiz1 - t^2 + C
Voltando para :

Passo 6

Agora, substituímos de volta t cdot arcsen(t) - raiz1 - t^2 + C = ln(x) cdot arcsen(ln(x)) + raiz1 - (ln(x))^2 + C :

Resposta

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