Exercício 7. Sejam f uma função de x e y com derivadas parciais f_{x} e f_{y} e g uma função diferenciável de uma única variável cujo domínio está contido na imagem de f. Construa a composta h(x, y)=g(f(x, y)).
(a) Mostre que h_{x}(x, y)=g^{\prime}(f(x, y)) f_{x}(x, y).
(b) Mostre que h_{y}(x, y)=g^{\prime}(f(x, y)) f_{y}(x, y).
(c) Observe que ao fazer u=f(x, y), temos a notação:
(i) \frac{\partial h}{\partial x}=\frac{d g}{d u} \frac{\partial u}{\partial x};
(ii) \frac{\partial h}{\partial y}=\frac{d g}{d u} \frac{\partial u}{\partial y}.

Passo 1

O enunciado define duas funções: \,f=f(x,y) é diferenciável em (x,y) e tem derivadas parciais \,f_x e \,f_y. \,g=g(u) é diferenciável em u e seu domínio contém a imagem de f.
Definimos a composta
h(x,y)=g\bigl(f(x,y)\bigr).
Precisamos mostrar que as derivadas parciais de h satisfazem a regra da cadeia:
(a) \,h_x(x,y)=g'\bigl(f(x,y)\bigr)\,f_x(x,y).
(b) \,h_y(x,y)=g'\bigl(f(x,y)\bigr)\,f_y(x,y).
E depois traduzir isso na notação u=f(x,y).

Passo 2

Vamos calcular \,h_x(x,y) pela definição de derivada parcial em x:
h_x(x,y) =\lim_{\Delta x\to0}\frac{h(x+\Delta x,y)-h(x,y)}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to0} \frac{g\bigl(f(x+\Delta x,y)\bigr)-g\bigl(f(x,y)\bigr)}{\Delta x}.
Como g é diferenciável em u=f(x,y), podemos usar a expansão linear de g em torno de u:
g\bigl(f(x+\Delta x,y)\bigr) \approx g\bigl(f(x,y)\bigr) +g'\bigl(f(x,y)\bigr)\,\bigl[f(x+\Delta x,y)-f(x,y)\bigr].
Substituindo na fração, obtemos
\frac{g(f(x+\Delta x,y))-g(f(x,y))}{\Delta x} \approx g'\bigl(f(x,y)\bigr)\, \frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}.
Tomando o limite \Delta x\to0, a fração à direita é exatamente f_x(x,y). Logo
h_x(x,y) = g'\bigl(f(x,y)\bigr)\,f_x(x,y).

Passo 3

De modo completamente análogo, para \,h_y(x,y) usamos a definição
h_y(x,y) =\lim_{\Delta y\to0}\frac{h(x,y+\Delta y)-h(x,y)}{\Delta y} =\lim_{\Delta y\to0} \frac{g\bigl(f(x,y+\Delta y)\bigr)-g\bigl(f(x,y)\bigr)}{\Delta y}.
Pela mesma expansão linear de g, chegamos a
\frac{g(f(x,y+\Delta y))-g(f(x,y))}{\Delta y} \approx g'\bigl(f(x,y)\bigr)\, \frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y},
e ao passar ao limite \Delta y\to0 reconhecemos f_y(x,y). Assim
h_y(x,y) = g'\bigl(f(x,y)\bigr)\,f_y(x,y).

Passo 4

Em notação intermediária, se definirmos
u = f(x,y), \quad h(x,y)=g(u),
então escrevemos
(i) \displaystyle \frac{\partial h}{\partial x} =\frac{dg}{du}\,\frac{\partial u}{\partial x},
(ii) \displaystyle \frac{\partial h}{\partial y} =\frac{dg}{du}\,\frac{\partial u}{\partial y}.

Resposta

(a) \,h_x(x,y)=g'\bigl(f(x,y)\bigr)\,f_x(x,y).
(b) \,h_y(x,y)=g'\bigl(f(x,y)\bigr)\,f_y(x,y).
(c) Com u=f(x,y), \displaystyle \frac{\partial h}{\partial x}=\frac{dg}{du}\,\frac{\partial u}{\partial x}
e \displaystyle \frac{\partial h}{\partial y}=\frac{dg}{du}\,\frac{\partial u}{\partial y}.

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