Exercício 7. Sejam
uma função de
e
com derivadas parciais
e
e
uma função diferenciável de uma única variável cujo domínio está contido na imagem de
. Construa a composta
.
(a) Mostre que
.
(b) Mostre que
.
(c) Observe que ao fazer
, temos a notação:
(i)
;
(ii)
.
(a) Mostre que
(b) Mostre que
(c) Observe que ao fazer
(i)
(ii)
Passo 1
O enunciado define duas funções:
é diferenciável em
e tem derivadas parciais
e
.
é diferenciável em
e seu domínio contém a imagem de
.
Definimos a composta
Definimos a composta
Precisamos mostrar que as derivadas parciais de
satisfazem a regra da cadeia:
(a) .
(b) .
E depois traduzir isso na notação .
(a)
(b)
E depois traduzir isso na notação
Passo 2
Vamos calcular
pela definição de derivada parcial em
:
Como
é diferenciável em
, podemos usar a expansão linear de
em torno de
:
Substituindo na fração, obtemos
Tomando o limite
, a fração à direita é exatamente
. Logo
Passo 3
De modo completamente análogo, para
usamos a definição
Pela mesma expansão linear de
, chegamos a
e ao passar ao limite
reconhecemos
. Assim
Passo 4
Em notação intermediária, se definirmos
então escrevemos
(i)
(ii)
(i)
(ii)
Resposta
(a)
(b)
(c) Com ,
e
(b)
(c) Com
e