Dizemos que ( x0, y0 ) é um ponto crítico da função f(x, y) se
partial fpartial x(x0, y0)=partial fpartial y(x0, y0)=0
(ou seja, se z=x^4+4 x y+y^4). Determine, caso existam, os pontos críticos das funções abaixo.

Passo 1

Vamos dar uma resumida no que a gente precisa: a função é f(x,y)=x^4+4xy+y^4 e o assunto é ponto crítico em funções de duas variáveis. Pra achar ponto crítico, precisamos calcular o gradiente de f e igualar a zero, ou seja vecnabla f=(0,0).

Passo 2

Primeiro a gente calcula as derivadas parciais de f. As fórmulas ficam:
partial fpartial x=4x^3+4y,
partial fpartial y=4x+4y^3

Passo 3

Agora impomos as condições de ponto crítico, ou seja:
4x^3+4y=0
4x+4y^3=0
Isso simplifica para
x^3+y=0Rightarrow y=-x^3
x+y^3=0Rightarrow x=-y^3

Passo 4

A gente substitui y=-x^3 na segunda equação x=-y^3. Isso dá:
x=-(-x^3)^3 = -(-x^9)=x^9
Então
x^9 - x = 0 Longrightarrow x(x^8-1)=0
Das soluções reais vem x=0 ou x^8=1, logo x=0,,1,,-1.

Passo 5

Por fim, voltamos em y=-x^3 para cada x:
  • Se x=0, então y=0.
  • Se x=1, então y=-1^3=-1.
  • Se x=-1, então y=-(-1)^3=1.
    Concluímos que os pontos críticos são esses três pares.

Resposta

Os pontos críticos são (0,0), (1,-1) e (-1,1).

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