Dizemos que (
) é um ponto crítico da função
se
(ou seja, se
). Determine, caso existam, os pontos críticos das funções abaixo.
Passo 1
Vamos dar uma resumida no que a gente precisa: a função é
e o assunto é ponto crítico em funções de duas variáveis. Pra achar ponto crítico, precisamos calcular o gradiente de
e igualar a zero, ou seja
.
Passo 2
Primeiro a gente calcula as derivadas parciais de
. As fórmulas ficam:
Passo 3
Agora impomos as condições de ponto crítico, ou seja:
Isso simplifica para
Passo 4
A gente substitui
na segunda equação
. Isso dá:
Então
Das soluções reais vem
ou
, logo
.
Passo 5
Por fim, voltamos em
para cada
:
- Se
, então . - Se
, então . - Se
, então .
Concluímos que os pontos críticos são esses três pares.
Resposta
Os pontos críticos são
,
e
.