Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
y^prime prime-2 y^prime+y=0

Passo 1

Estamos resolvendo a EDO y'' - 2y' + y = 0, que é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para isso, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y = e^r x. Assim, derivando, temos y' = r e^r x e y'' = r^2 e^r x. Substituindo na EDO, fatoramos e^r x (que nunca é zero) e obtemos a equação característica.
A equação característica fica:
r^2 - 2r + 1 = 0

Passo 3

Resolvendo-a, percebemos que é um quadrado perfeito: (r - 1)^2 = 0, ou seja, a raiz r = 1 tem multiplicidade 2. Quando a raiz r é dupla, a solução geral é dada por y(x) = (C1 + C2 x)e^r x.
Substituindo r = 1, concluímos que a solução geral é:
y(x) = (C1 + C2 x)e^x

Resposta

y(x) = (C1 + C2 x)e^x

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