Exercício 5. Uma onda harmônica
propaga-se em uma corda de densidade linear
sob tensão
.
(a) Mostre que a densidade de energia total (cinética + potencial) é
(b) Calcule a energia média por comprimento de onda.
(c) Determine a potência média transportada pela onda.
(a) Mostre que a densidade de energia total (cinética + potencial) é
(c) Determine a potência média transportada pela onda.
Passo 1
O enunciado descreve uma onda harmônica
numa corda de densidade linear
e tensão
. Pede-se:
(a) densidade de energia total ;
(b) energia média por comprimento de onda;
(c) potência média transportada.
Vamos usar as expressões da energia cinética e potencial por unidade de comprimento e a relação de dispersão , com
.
(a) densidade de energia total
(b) energia média por comprimento de onda;
(c) potência média transportada.
Vamos usar as expressões da energia cinética e potencial por unidade de comprimento e a relação de dispersão
Passo 2
Escrevemos as densidades instantâneas de energia por unidade de comprimento:
– energia cinética
– energia cinética
– energia potencial (de deformação)
Passo 3
Calculamos as derivadas:
Logo
Como
segue
. Assim
Passo 4
Para a energia contida em um comprimento de onda
integramos
Como a média de
sobre um período é
,
A energia média por unidade de comprimento vale
Passo 5
A potência média é a energia que passa por um ponto por unidade de tempo. Como a energia se propaga à velocidade
,
Resposta
(a)
(b) energia média por comprimento de onda
(c) potência média transportada