Exercício 5. Uma onda harmônica y(x, t)=A \cos (k x-\omega t) propaga-se em uma corda de densidade linear \mu sob tensão T.
(a) Mostre que a densidade de energia total (cinética + potencial) é
u(x, t)=\mu \omega^{2} A^{2} \operatorname{sen}^{2}(k x-\omega t) .
(b) Calcule a energia média por comprimento de onda.
(c) Determine a potência média transportada pela onda.

Passo 1

O enunciado descreve uma onda harmônica
y(x,t)=A\cos(kx-\omega t)
numa corda de densidade linear \mu e tensão T. Pede-se:
(a) densidade de energia total u(x,t);
(b) energia média por comprimento de onda;
(c) potência média transportada.
Vamos usar as expressões da energia cinética e potencial por unidade de comprimento e a relação de dispersão v=\sqrt{T/\mu}, com v=\omega/k.

Passo 2

Escrevemos as densidades instantâneas de energia por unidade de comprimento:
– energia cinética
u_k=\tfrac12\,\mu\Bigl(\frac{\partial y}{\partial t}\Bigr)^2,
– energia potencial (de deformação)
u_p=\tfrac12\,T\Bigl(\frac{\partial y}{\partial x}\Bigr)^2.

Passo 3

Calculamos as derivadas:
\frac{\partial y}{\partial t}=-A\,\omega\sin(kx-\omega t), \quad \frac{\partial y}{\partial x}=-A\,k\sin(kx-\omega t).
Logo
u_k=\tfrac12\,\mu A^2\omega^2\sin^2(kx-\omega t), \quad u_p=\tfrac12\,T A^2k^2\sin^2(kx-\omega t).
Como T=\mu v^2=\mu(\omega/k)^2 segue T\,k^2=\mu\omega^2. Assim
u=u_k+u_p =\tfrac12\,\mu A^2\omega^2\sin^2\varphi +\tfrac12\,\mu A^2\omega^2\sin^2\varphi =\mu\omega^2A^2\sin^2(kx-\omega t).

Passo 4

Para a energia contida em um comprimento de onda \lambda=2\pi/k integramos
E_\lambda=\int_0^\lambda u(x,t)\,\mathrm{d}x =\mu\omega^2A^2\int_0^\lambda\sin^2(kx-\omega t)\,\mathrm{d}x.
Como a média de \sin^2 sobre um período é 1/2,
E_\lambda =\mu\omega^2A^2\cdot\frac\lambda2.
A energia média por unidade de comprimento vale
\frac{E_\lambda}{\lambda} =\frac{\mu\omega^2A^2}{2}.

Passo 5

A potência média é a energia que passa por um ponto por unidade de tempo. Como a energia se propaga à velocidade v,
P_{\rm m} =u_{\rm m}\,v =\Bigl(\frac{\mu\omega^2A^2}{2}\Bigr)\,v =\frac12\,\mu\omega^2A^2\,v.

Resposta

(a) u(x,t)=\mu\omega^2A^2\sin^2(kx-\omega t).
(b) energia média por comprimento de onda
\frac{E_\lambda}{\lambda}=\frac{\mu\omega^2A^2}{2}.
(c) potência média transportada
P_{\rm m}=\frac12\,\mu\omega^2A^2\,v.

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