Exercício 3. Uma onda estacionária produzida por duas ondas y_{1} e y_{2} de frequência \omega, número de onda k e amplitude A tem a forma:
y=y_{1}+y_{2}=2 A \sin k x \cos \omega t
chamamos de nós os pontos em x onde a amplitude é zero e antinós os pontos on a amplitude é máxima. Mostre que
(a)
x=n \frac{\lambda}{2}, \quad \text { para }, n=0,1,2 \ldots
para os nós.
(b)
x=\left(n+\frac{1}{2}\right) \frac{\lambda}{2}, \quad \text { para }, n=0,1,2 \ldots
para os antinós.

Passo 1

O enunciado nos dá uma onda estacionária
y = 2A \,\sin kx\,\cos\omega t
e pede as posições dos nós (onde a amplitude em x é zero para todo t) e dos antinós (onde a amplitude em x é máxima). Vamos usar que a amplitude espacial é 2A|\sin kx| e que a relação entre número de onda k e comprimento de onda \lambda é
\lambda = \frac{2\pi}{k}\,.

Passo 2

Nós são os pontos em x tais que y=0 para todo t. Como \cos\omega t oscila entre -1 e 1, a única forma de garantir y=0 num nó é ter
\sin kx = 0\,.
Isso ocorre quando
kx = n\pi, \quad n=0,1,2,\dots
Logo
x = \frac{n\pi}{k} = n\,\frac{\lambda}{2}\,.

Passo 3

Antinós são os pontos em x onde a amplitude espacial atinge seu valor máximo 2A, isto é, |\sin kx|=1. Isso equivale a
\sin kx = \pm1 \quad\Longrightarrow\quad kx = \frac{(2n+1)\pi}{2}, \quad n=0,1,2,\dots
Daí
x = \frac{(2n+1)\pi}{2k} = \biggl(n+\tfrac12\biggr)\frac{\pi}{k} = \biggl(n+\tfrac12\biggr)\frac{\lambda}{2}\,.

Resposta

(a) Para os nós:
x = n\,\frac{\lambda}{2},\quad n=0,1,2,\dots
(b) Para os antinós:
x = \bigl(n+\tfrac12\bigr)\,\frac{\lambda}{2},\quad n=0,1,2,\dots

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