Exercício 6. Mostre que
P(a<X \leq b, c<Y \leq d)=F_{X, Y}(b, d)-F_{X, Y}(a, d)-F_{X, Y}(b, c)+F_{X, Y}(a, c) .

Passo 1

O enunciado pede para expressar a probabilidade da região
\{(X,Y)\mid a < X \le b,\;c < Y \le d\}
em função da função de distribuição conjunta
F_{X,Y}(x,y)=P(X\le x,\;Y\le y).
O conteúdo aqui é manipulação de probabilidades e uso do princípio de inclusão-exclusão em retângulos.

Passo 2

Primeiro, recordamos a definição da função de distribuição conjunta:
F_{X,Y}(x,y)=P(X\le x,\;Y\le y).
Em particular:
P(X\le b,\;Y\le d)=F_{X,Y}(b,d),\quad P(X\le a,\;Y\le d)=F_{X,Y}(a,d),
P(X\le b,\;Y\le c)=F_{X,Y}(b,c),\quad P(X\le a,\;Y\le c)=F_{X,Y}(a,c).

Passo 3

Para achar
P(a< X\le b,\;c< Y\le d),
podemos começar com
P(X\le b,\;Y\le d)
e subtrair as porções indesejadas. Geometricamente, a região \{X\le b,\;Y\le d\} é um retângulo maior que contém duas “tiras” que não queremos:
  1. a parte com X\le a e Y\le d, e
  2. a parte com X\le b e Y\le c.
    Ao subtrair essas duas tiras, subtraímos duas vezes a região \{X\le a,\;Y\le c\}, então precisamos adicioná-la de volta.

Passo 4

Aplicando esse raciocínio de inclusão-exclusão:
P(a< X\le b,\;c< Y\le d) =F_{X,Y}(b,d)-F_{X,Y}(a,d)-F_{X,Y}(b,c)+F_{X,Y}(a,c).

Resposta

P(a< X\le b,\;c< Y\le d)=F_{X,Y}(b,d)-F_{X,Y}(a,d)-F_{X,Y}(b,c)+F_{X,Y}(a,c).

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