Exercício 1. Para guiar seu estudo, responda às perguntas abaixo sobre Ponto, reta e plano:
Classifique as posições relativas entre uma reta e um plano no espaço e descreva a distância e o ângulo entre esses objetos.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Classificar todas as posições relativas possíveis entre uma reta e um plano no espaço.
  • Descrever como calcular a distância entre a reta e o plano.
  • Descrever como calcular o ângulo entre a reta e o plano.
Informações dadas (nenhuma numérica específica): trata‑se de uma reta e de um plano quaisquer no espaço tridimensional. Vou usar as representações vetoriais-padrão para fazer testes e obter fórmulas que você aplicará na prova.

Passo 2

Representações que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • Plano em forma ponto-normal: seja um ponto do plano \mathbf{r}_0 e um vetor normal ao plano \mathbf{n}. O plano é o conjunto de pontos \mathbf{r} tais que
\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)=0.
Aqui \mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0) é o produto escalar entre \mathbf{n} e \mathbf{r}-\mathbf{r}_0.
  • Reta em forma paramétrica: seja um ponto qualquer da reta \mathbf{r}_1 e o vetor direção da reta \mathbf{v}. A reta é
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_1+t\,\mathbf{v},\qquad t\in\mathbb{R}.
Explicação dos símbolos: \mathbf{r}_0,\mathbf{r}_1 são vetores posição de pontos conhecidos no plano e na reta; \mathbf{n} é normal do plano; \mathbf{v} é vetor direção da reta; \mathbf{r}(t) é a posição geral de um ponto na reta quando escolhemos t.

Passo 3

Critério prático e rápido (o passo que salva tempo na prova):
  • Calcule o produto escalar \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}.
    • Se \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\neq0, a reta corta o plano em exatamente um ponto (posição secante).
    • Se \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=0, a reta é paralela ao plano (direção da reta é ortogonal ao normal do plano, logo paralela ao plano). Nesse caso há duas sub‑casos: a reta está contida no plano ou é paralela e disjunta.
      Vou justificar e mostrar como verificar cada caso.

Passo 4

Caso \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\neq0 (reta intersecta o plano):
  • Substitua \mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_1+t\mathbf{v} na equação do plano:
\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}_1+t\mathbf{v}-\mathbf{r}_0)=0.
  • Desenvolvendo,
\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_0)+t\;(\mathbf{n}\cdot\mathbf{v})=0.
  • Isolando t,
t=-\dfrac{\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_0)}{\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}}.
  • Esse t é único porque \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}\neq0. A interseção existe e o ponto de interseção é \mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_1+t\mathbf{v}.
    Comentário didático: interpretar \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}\neq0 como “a direção da reta tem uma componente ao longo do normal do plano”, portanto a reta atravessa o plano.

Passo 5

Caso \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=0 (reta é paralela ao plano): distinguir os dois sub‑casos
  • Teste se um ponto da reta pertence ao plano: calcule \mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_0).
    • Se \mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_0)=0, então \mathbf{r}_1 satisfaz a equação do plano e, como \mathbf{v} está paralelo ao plano, a reta inteira está contida no plano (reta pertencente ao plano).
    • Se \mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_0)\neq0, então nenhum ponto da reta está no plano (porque ao variar t a combinação \mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}_1+t\mathbf{v}-\mathbf{r}_0)=\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_0) permanece constante) — logo a reta é paralela e distinta do plano.
      Explicação curta: quando \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=0 a projeção ao longo do normal não muda com t; se já não era zero em t=0, nunca será.

Passo 6

Definição e fórmula do ângulo entre reta e plano (com explicação):
  • Primeiro: ângulo entre dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b} é dado por
\cos\varphi=\dfrac{|\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}|}{\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|},
onde \|\cdot\| é a norma (comprimento) do vetor e o valor absoluto garante ângulo agudo (entre 0 e \pi/2).
  • Para reta e plano: é comum definir \theta como o ângulo entre a reta e o plano; esse ângulo é complementar ao ângulo \varphi entre o vetor direção da reta \mathbf{v} e o normal do plano \mathbf{n}. Ou seja,
\theta = \tfrac{\pi}{2}-\varphi.
  • Assim, usando relações trigonométricas, obtemos a fórmula prática
\sin\theta=\dfrac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{v}\|\,\|\mathbf{n}\|}.
Interpretação rápida:
  • Se \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=0 então \sin\theta=0 e \theta=0 (reta paralela ao plano).
  • Se \mathbf{v} é paralelo a \mathbf{n} então |\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}|=\|\mathbf{v}\|\|\mathbf{n}\| e \sin\theta=1 então \theta=\tfrac{\pi}{2} (reta perpendicular ao plano).
    Dica de prova curta: \cos\varphi=\dfrac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{v}\|\,\|\mathbf{n}\|} e \theta=\tfrac{\pi}{2}-\varphi\Rightarrow \sin\theta=\cos\varphi.

Passo 7

Distância entre reta e plano (explicação e fórmula):
  • Três situações:
    • Se a reta corta o plano (caso do Passo 4) ou está contida no plano (um sub‑caso do Passo 5), a distância entre eles é zero.
    • Se a reta é paralela ao plano e disjunta (Passo 5, segundo sub‑caso), a distância é a distância de qualquer ponto da reta ao plano.
  • Distância de um ponto \mathbf{p} ao plano definido por (\mathbf{r}_0,\mathbf{n}) é a projeção do vetor \mathbf{p}-\mathbf{r}_0 sobre a direção normal unitária:
\text{dist}(\mathbf{p},\text{plano})=\left|\dfrac{\mathbf{n}\cdot(\mathbf{p}-\mathbf{r}_0)}{\|\mathbf{n}\|}\right|.
  • Portanto, se a reta é paralela e disjunta, escolha \mathbf{p}=\mathbf{r}_1 (qualquer ponto da reta) e a distância reta–plano é
\text{dist}(\text{reta},\text{plano})=\left|\dfrac{\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_0)}{\|\mathbf{n}\|}\right|.
Derivação curta: \dfrac{\mathbf{n}}{\|\mathbf{n}\|} é o versor normal; a distância é o módulo da componente desse versor sobre o vetor que liga um ponto da reta a um ponto do plano.

Passo 8

Dois exemplos rápidos (para você praticar o raciocínio mental na prova)
Exemplo A — interseção:
  • Plano: x+y+z=1. Aqui \mathbf{n}=(1,1,1) e pode escolher \mathbf{r}_0=(1,0,0) porque 1+0+0=1.
  • Reta: \mathbf{r}(t)=(0,0,0)+t(1,1,1). Aqui \mathbf{r}_1=(0,0,0) e \mathbf{v}=(1,1,1).
  • Calcule \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=1+1+1=3\neq0 → há interseção.
  • Ache t:
\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}_1+t\mathbf{v}-\mathbf{r}_0)=0 \Rightarrow (1+1+1)t -1=0 \Rightarrow t=\tfrac{1}{3}.
  • Ponto de interseção: \mathbf{r}\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=\left(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\right).
  • Ângulo: \sin\theta=\dfrac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{v}\|\,\|\mathbf{n}\|}=\dfrac{3}{\sqrt{3}\sqrt{3}}=1\Rightarrow\theta=\tfrac{\pi}{2} (reta perpendicular ao plano neste exemplo).
Exemplo B — paralela e distância:
  • Plano: x+2y-2z=3. Aqui \mathbf{n}=(1,2,-2). Escolha \mathbf{r}_0=(3,0,0) pois 3+0+0=3.
  • Reta: \mathbf{r}(t)=(1,1,1)+t(2,-1,0). Aqui \mathbf{r}_1=(1,1,1), \mathbf{v}=(2,-1,0).
  • Produto escalar \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=2\cdot1+(-1)\cdot2+0\cdot(-2)=0 → reta paralela ao plano.
  • Teste de pertencimento: \mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_0)=1\cdot(-2)+2\cdot1+(-2)\cdot1=-2+2-2=-2\neq0 → reta paralela e distinta.
  • Distância:
\text{dist}=\left|\dfrac{\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_0)}{\|\mathbf{n}\|}\right|=\dfrac{|-2|}{\sqrt{1+4+4}}=\dfrac{2}{3}.

Passo 9

Checklist útil para a prova (meio “cola mental”):
  1. Escreva \mathbf{n} e \mathbf{v} (normal do plano e direção da reta).
  2. Calcule \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}.
    • Se diferente de zero → reta intersecta; calcule t pela fórmula do Passo 4 e determine o ponto.
    • Se zero → reta é paralela; calcule \mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_0) para decidir se a reta está no plano (zero) ou é disjunta (não zero).
  3. Para o ângulo use \sin\theta=\dfrac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{v}\|\,\|\mathbf{n}\|}.
  4. Para a distância (quando paralela e distinta) use \text{dist}=\left|\dfrac{\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_0)}{\|\mathbf{n}\|}\right|.
    Dica motivacional: segue esse roteiro que é rápido e sistemático — assim você não se perde na hora da prova.

Resposta

  • Posições relativas: (1) reta intersecta o plano em um único ponto se \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\neq0; (2) reta paralela ao plano e contida nele se \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=0 e \mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_0)=0; (3) reta paralela ao plano e distinta (não intersecta) se \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=0 e \mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_0)\neq0.
  • Ângulo entre reta (direção \mathbf{v}) e plano (normal \mathbf{n}): \displaystyle \sin\theta=\dfrac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{v}\|\,\|\mathbf{n}\|}.
  • Distância entre reta e plano: se intersectam ou reta contida no plano então \text{dist}=0; se reta paralela e distinta então \displaystyle \text{dist}=\left|\dfrac{\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_0)}{\|\mathbf{n}\|}\right|.

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