Exercício 1. Para guiar seu estudo, responda às perguntas abaixo sobre Ponto, reta e plano:
Classifique as posições relativas entre dois planos no espaço e descreva a distância e o ângulo entre esses objetos.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Classificar todas as posições relativas possíveis entre dois planos no espaço.
  • Descrever como medir a distância entre dois planos e como medir o ângulo entre eles.
Informações relevantes (dados que normalmente se usam para resolver):
  • Dois planos gerais podem ser escritos como \Pi_1: a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0 e \Pi_2: a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0.
  • Os vetores normais a esses planos são \mathbf{n}_1=(a_1,b_1,c_1) e \mathbf{n}_2=(a_2,b_2,c_2).
  • As operações/condições que vamos precisar: ver se vetores são proporcionais, usar produto escalar para ângulo, usar fórmula de distância ponto-plano.

Passo 2

Definição e interpretação do vetor normal:
  • Um plano pode ser escrito como \Pi: ax+by+cz+d=0. O vetor \mathbf{n}=(a,b,c) é chamado normal do plano porque é ortogonal a qualquer vetor contido no plano.
  • Intuição: se \mathbf{u} é um vetor paralelo ao plano, então \mathbf{n}\cdot\mathbf{u}=0.
  • Em provas, sempre extraia os vetores normais dos coeficientes das equações dos planos; eles são a chave para classificar posições e calcular ângulos.

Passo 3

Classificação das posições relativas (lista completa e critérios algébricos):
  1. Coincidentes (mesmo plano):
  • Ocorre quando os vetores normais são proporcionais e os termos constantes também seguem a mesma proporcionalidade.
  • Em termos algébricos: existe \lambda\neq0 tal que \mathbf{n}_1=\lambda\mathbf{n}_2 e d_1=\lambda d_2. Nesse caso as equações representam exatamente o mesmo conjunto de pontos.
  1. Paralelos distintos:
  • Ocorre quando os vetores normais são proporcionais mas os planos não coincidem.
  • Em termos algébricos: existe \lambda\neq0 tal que \mathbf{n}_1=\lambda\mathbf{n}_2 e d_1\neq\lambda d_2. Nesse caso os planos nunca se encontram e têm distância positiva entre si.
  1. Intersectam (em uma reta):
  • Ocorre quando os vetores normais não são proporcionais, isto é, \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 são linearmente independentes.
  • Geometricamente dois planos não paralelos no espaço tridimensional sempre se intersectam numa reta. Não existe “skew” entre planos (isso acontece entre retas).

Passo 4

Distância ponto–plano (fórmula e derivação curta):
  • Distância do ponto P(x_0,y_0,z_0) ao plano \Pi:ax+by+cz+d=0:
\text{dist}(P,\Pi)=\frac{\bigl|a x_0+b y_0+c z_0+d\bigr|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
  • Intuição/demonstração rápida: o numerador é o valor da equação do plano avaliada no ponto (medida algébrica de deslocamento), e dividir por \|\mathbf{n}\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2} projeta esse deslocamento na direção normal, dando a menor distância (projeção ortogonal).

Passo 5

Distância entre dois planos paralelos (fórmula prática e procedimento):
  • Suponha que \Pi_1 e \Pi_2 têm o mesmo vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c) (ou podem ser colocados nessa forma por escala). Então escreva
    \Pi_1: a x+b y+c z+d_1=0 e \Pi_2: a x+b y+c z+d_2=0.
  • A distância entre planos paralelos é
\text{dist}(\Pi_1,\Pi_2)=\frac{|d_2-d_1|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
  • Se os normais são proporcionais, primeiro escale uma equação para que os coeficientes (a,b,c) coincidam e então aplique a fórmula acima.
  • Observação prática para prova: pegue um ponto de \Pi_1 (ou use diretamente os termos d_1,d_2 após normalizar os coeficientes) e aplique a fórmula de distância ponto–plano.

Passo 6

Distância quando os planos não são paralelos:
  • Se \mathbf{n}_1 não é proporcional a \mathbf{n}_2, os planos se intersectam em uma reta e a distância entre eles é
\text{dist}(\Pi_1,\Pi_2)=0.
  • Em provas, verifique proporcionalidade dos normais: se não são proporcionais, responda distância zero imediatamente.

Passo 7

Ângulo entre dois planos (definição e fórmula com produto escalar):
  • Definição prática: o ângulo \theta entre dois planos é o ângulo entre os seus vetores normais \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2. Em geral toma-se o ângulo agudo, isto é, 0\le\theta\le\pi/2.
  • Fórmula usando produto escalar:
\cos\theta=\frac{\bigl|\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2\bigr|}{\|\mathbf{n}_1\|\,\|\mathbf{n}_2\|}.
  • Alternativa (usando produto vetorial) para obter \sin\theta:
\sin\theta=\frac{\|\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2\|}{\|\mathbf{n}_1\|\,\|\mathbf{n}_2\|}.
  • Observação: some provas pedem o ângulo entre as direções de interseção (retas) do plano com um plano de referência; nesses casos relaciona-se com complemento, mas na maioria dos exercícios o que se pede é o ângulo entre os planos, tratado acima.

Passo 8

Exemplos rápidos (para ver o procedimento e treinar):
  1. Planos paralelos distintos:
  • \Pi_1: x+2y+2z-3=0, \Pi_2:2x+4y+4z+1=0.
  • Veja que \mathbf{n}_2=2\mathbf{n}_1 (paralelos). Divida \Pi_2 por 2 para igualar normais: x+2y+2z+\tfrac{1}{2}=0.
  • Distância: \displaystyle\frac{\bigl|-3-\tfrac{1}{2}\bigr|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{3{,}5}{3}=\tfrac{7}{6}.
  • Ângulo: como normais são proporcionais, \theta=0 (planos são paralelos).
  1. Planos que se intersectam:
  • \Pi_1: x+y+z=0, \Pi_2: x-y=0. \mathbf{n}_1=(1,1,1), \mathbf{n}_2=(1,-1,0).
  • Produto escalar \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2=1-1+0=0 \cos\theta=0 \theta=\tfrac{\pi}{2} (planos perpendiculares).
  • Distância entre eles = 0 (interseção em reta).

Passo 9

Receita prática para a prova (passos a seguir em ordem):
  1. Extrair \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2.
  2. Testar se existem \lambda tal que \mathbf{n}_1=\lambda\mathbf{n}_2:
    • se sim, verificar d_1=\lambda d_2 → coincidentes; senão → paralelos distintos (calcular distância com a fórmula).
    • se não, afirmar que intersectam numa reta e a distância é 0.
  3. Para o ângulo, usar \cos\theta=\dfrac{|\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2|}{\|\mathbf{n}_1\|\,\|\mathbf{n}_2\|}. Se precisar do ângulo complementar, usar relação com retas de interseção.
  4. Em respostas, deixe claro se o ângulo é o agudo (padrão) ou outro, e mostre o cálculo do produto escalar/normalização.

Resposta

Posições relativas possíveis: coincidentes; paralelos distintos; intersectam numa reta.
Distância entre planos:
  • Se paralelos e escritos como a x+b y+c z+d_1=0 e a x+b y+c z+d_2=0, então \displaystyle \text{dist}=\frac{|d_2-d_1|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
  • Se os normais são proporcionais, primeiro escalar para igualar coeficientes e aplicar a fórmula acima.
  • Se não são paralelos, \displaystyle \text{dist}=0.
Ângulo entre planos:
  • Definido como o ângulo entre os normais \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 e dado por
\cos\theta=\frac{\bigl|\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2\bigr|}{\|\mathbf{n}_1\|\,\|\mathbf{n}_2\|},
ou equivalentemente \displaystyle \sin\theta=\frac{\|\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2\|}{\|\mathbf{n}_1\|\,\|\mathbf{n}_2\|}.

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