Exercício 2. Para avaliar a potência dos membros inferiores, um professor de Educação Física mediu a altura do salto vertical, em centimetros (cm), de 20 estudantes. As alturas registradas foram:
45,52,38,48,55,42,48,60,52,40,46,50,48,35,44,58,48,50,42,51
Calcule a média, a mediana e a moda da altura dos saltos.

Passo 1

O enunciado dá as alturas dos saltos, em centímetros, de \,20 estudantes:
45,52,38,48,55,42,48,60,52,40,46,50,48,35,44,58,48,50,42,51
O que é pedido:
  • Calcular a média aritmética dessas alturas.
  • Calcular a mediana dessas alturas.
  • Calcular a moda dessas alturas.

Passo 2

Definição e fórmula da média aritmética (aula rápida e direta).
A média aritmética de um conjunto de n observações x_1,x_2,\dots,x_n é dada por
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Aqui:
  • \bar{x} é a média que queremos;
  • n é o número total de observações;
  • x_i é cada observação individual;
  • \sum_{i=1}^{n} x_i é a soma de todas as observações.
    Vamos aplicar isso ao nosso caso com n=20.

Passo 3

Primeiro, ordeno os dados do menor para o maior (isto facilita encontrar a mediana e também ajuda a somar com calma). Da imagem/enunciado peguei os dados e ordenei em:
35,38,40,42,42,44,45,46,48,48,48,48,50,50,51,52,52,55,58,60
Agora somo todos esses valores com contas agrupadas para evitar erro de cabeça:
\begin{aligned} 35+38&=73,\\\\ 40+42&=82,\\\\ 42+44&=86,\\\\ 45+46&=91,\\\\ 48+48&=96,\\\\ 48+48&=96,\\\\ 50+50&=100,\\\\ 51+52&=103,\\\\ 52+55&=107,\\\\ 58+60&=118. \end{aligned}
Somando esses blocos:
73+82=155,\quad 86+91=177,\quad 96+96=192,\quad 100+103=203,\quad 107+118=225.
Agora:
155+177=332,\quad 332+192=524,\quad 524+203=727,\quad 727+225=952.
Portanto
\sum_{i=1}^{20} x_i = 952.

Passo 4

Calculo da média usando a soma encontrada:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i=\frac{1}{20}\cdot 952 = \frac{952}{20}.
Fazendo a divisão (ou simplificando):
\frac{952}{20}=47{,}6.
Então a média das alturas é \bar{x}=47{,}6\\ \text{cm}.

Passo 5

Definição e método para encontrar a mediana (explicando passo a passo).
A mediana é o valor central de um conjunto ordenado.
  • Se n for ímpar, a mediana é a observação na posição \frac{n+1}{2}.
  • Se n for par, a mediana é a média das observações nas posições \frac{n}{2} e \frac{n}{2}+1.
Aqui n=20 (par), então as posições são:
\frac{n}{2}=10\quad\text{e}\quad \frac{n}{2}+1=11.
Olho a lista ordenada e pego a 10^\text{a} e a 11^\text{a} observações:
\text{10ª} = 48,\quad \text{11ª} = 48.ªª
A mediana é a média desses dois valores:
\text{Mediana}=\frac{48+48}{2}=48.
Portanto a mediana é 48\\ \text{cm}.

Passo 6

Definição e método para encontrar a moda (explicando passo a passo).
A moda é o(s) valor(es) que ocorre(m) com maior frequência no conjunto de dados.
Conto quantas vezes cada valor aparece (peguei os dados da lista ordenada):
\begin{aligned} 35&:1,\quad 38:1,\quad 40:1,\quad 42:2,\quad 44:1,\\\\ 45&:1,\quad 46:1,\quad 48:4,\quad 50:2,\quad 51:1,\\\\ 52&:2,\quad 55:1,\quad 58:1,\quad 60:1. \end{aligned}
O valor com maior frequência é 48 (aparece 4 vezes). Não há outro valor com frequência igual a 4, então a moda é única.

Passo 7

Resumo final dos resultados (para conferir antes de responder oficialmente):
  • Média: \bar{x}=47{,}6\\ \text{cm}.
  • Mediana: 48\\ \text{cm}.
  • Moda: 48\\ \text{cm}.

Resposta

\bar{x}=47{,}6\\ \text{cm}
\text{Mediana}=48\\ \text{cm}
\text{Moda}=48\\ \text{cm}

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