Exercício 8: Por um duto de seção circular escoa água ( gamma=10^4 N / m^3 ). Em um ponto localizado a 10 m acima do nível do solo, a pressão dentro do duto é 250 kPa e a velocidade é 5 m / s. Num ponto a jusante (saída), no nível do solo, a velocidade é de 20 m / s. Determine a pressão na seção a jusante desprezando os efeitos de atrito. Para os cálculos utilize g=10 m / s^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos fala sobre o fluxo de água em um duto circular e nos pede para encontrar a pressão na saída do duto, desprezando os efeitos de atrito. Vamos usar o conteúdo de Mecânica dos Fluidos, especificamente a Equação de Bernoulli. Para isso, vamos precisar entender como a pressão, a velocidade do fluxo e a altura influenciam no comportamento do fluido.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Equação de Bernoulli, que relaciona essas variáveis entre dois pontos em um fluxo contínuo e sem atrito. A equação é dada por:
PAgamma + vA^22g + zA = PBgamma + vB^22g + zB
Onde:
  • $ P $ é a pressão no ponto,
  • $ \gamma $ é o peso específico do fluido,
  • $ v $ é a velocidade do fluido,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade,
  • $ z $ é a altura em relação a um nível de referência.

Passo 3

Vamos identificar os dados fornecidos no problema:
  • Ponto A (10 m acima do solo):
    • Pressão ($ P_A $) = 250 kPa = 250.000 Pa
    • Velocidade ($ v_A $) = 5 m/s
    • Altura ($ z_A $) = 10 m
  • Ponto B (no nível do solo):
    • Velocidade ($ v_B $) = 20 m/s
    • Altura ($ z_B $) = 0 m
    • Pressão ($ P_B $) = ? (é o que queremos encontrar)
Além disso, sabemos que:
  • Peso específico da água ($ \gamma $) = $ 10^4 , N/m^3 $
  • Aceleração da gravidade ($ g $) = 10 m/s²

Passo 4

Vamos reorganizar a Equação de Bernoulli para resolver $ P_B $:
PB
Como $ z_B = 0 $, simplificamos para:
PBgamma = PAgamma + vA^22g + zA - vB^22g - zB

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação:
PB10^4 = 25000010^4 + 5^22 times 10 + 10 - 20^22 times 10
Calculando cada termo:
  • $ \frac{P_A}{\gamma} = \frac{250000}{10^4} = 25 , m $
  • $ \frac{v_A^2}{2g} = \frac{25}{20} = 1,25 , m $
  • $ \frac{v_B^2}{2g} = \frac{400}{20} = 20 , m $
Substituindo de volta:
PAgamma = 25000010^4 = 25 , m

Passo 6

Vamos somar e subtrair os valores:
PB10^4 = 25 + 1,25 + 10 - 20 = 16,25 , m
Agora, para encontrar $ P_B $, multiplicamos ambos os lados por $ \gamma $:
PB

Resposta

A pressão na seção a jusante é de 1.625.000 Pa.

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