Uma placa plana fina de comprimento , espessura e largura está termicamente ligada a dois grandes sumidouros de calor, que são mantidos a uma temperatura . A superfície inferior da placa encontra-se bem isolada, enquanto o fluxo térmico líquido para a sua superfície superior é uniforme e igual a .
Deduza a equação diferencial que determina a distribuição de temperaturas em regime estacionário na placa.
Passo 1
Beleza, vamos antes de tudo recapitular o que o enunciado diz e o que precisamos usar:
Enunciado resumido: temos uma plaquinha fina de comprimento , espessura e largura . As duas extremidades em e estão presas a sumidouros a temperatura fixa . A face de baixo da placa é isolada (nenhum calor entra ou sai por ali) e, na face de cima, cai um fluxo de calor uniforme .
Matéria envolvida: condução de calor unidimensional em regime estacionário e balanço de energia (primeira lei da termodinâmica).
O que vamos precisar:
Lei de Fourier para condução: .
Balanço de energia em regime estacionário num elemento diferencial de comprimento .
Entender que o fluxo sobre a área equivale a um “termo de geração” de calor por unidade de comprimento.
Passo 2
Vamos isolar um pedaço bem fininho da placa, entre e .
Em regime estacionário, a energia que entra nessa fatia menos a que sai mais a que é “injetada” pela face de cima deve ser zero.
O calor que entra pela face lateral esquerda é
O calor que sai pela face lateral direita é qx(x);-;qx(x+dx);+;qe'',W,dx ;=;0
O calor “gerado” na fatia por causa do fluxo na face de cima valeá
Então o balanço é
Passo 3
Agora a gente expande qx(x+dx)approx qx(x)+dqxdx,dx em série de Taylor até a primeira ordem e joga qx(x)-l[qx(x)+tfracdqxdx,dxr]+qe''W,dx=0 Longrightarrow -dqxdx,dx + qe''W,dx=0 :