Uma placa plana fina de comprimento L, espessura t e largura W gg L está termicamente ligada a dois grandes sumidouros de calor, que são mantidos a uma temperatura T0. A superfície inferior da placa encontra-se bem isolada, enquanto o fluxo térmico líquido para a sua superfície superior é uniforme e igual a qe^prime prime.
Deduza a equação diferencial que determina a distribuição de temperaturas em regime estacionário T(x) na placa.

Passo 1

Beleza, vamos antes de tudo recapitular o que o enunciado diz e o que precisamos usar:
  • Enunciado resumido: temos uma plaquinha fina de comprimento , espessura e largura . As duas extremidades em e estão presas a sumidouros a temperatura fixa . A face de baixo da placa é isolada (nenhum calor entra ou sai por ali) e, na face de cima, cai um fluxo de calor uniforme .
  • Matéria envolvida: condução de calor unidimensional em regime estacionário e balanço de energia (primeira lei da termodinâmica).
  • O que vamos precisar:
    1. Lei de Fourier para condução: .
    2. Balanço de energia em regime estacionário num elemento diferencial de comprimento .
    3. Entender que o fluxo sobre a área equivale a um “termo de geração” de calor por unidade de comprimento.

Passo 2

Vamos isolar um pedaço bem fininho da placa, entre qx(x) ;=; -,k;A;dTdx|x, onde A=W,t e qx(x+dx) ;=; -,k;A;dTdx|x+dx .
  1. Em regime estacionário, a energia que entra nessa fatia menos a que sai mais a que é “injetada” pela face de cima deve ser zero.
  2. O calor que entra pela face lateral esquerda é qe''times(área da fatia) = qe'';W,dx
  3. O calor que sai pela face lateral direita é qx(x);-;qx(x+dx);+;qe'',W,dx ;=;0
  4. O calor “gerado” na fatia por causa do fluxo na face de cima vale á
Então o balanço é

Passo 3

Agora a gente expande qx(x+dx)approx qx(x)+dqxdx,dx em série de Taylor até a primeira ordem e joga qx(x)-l[qx(x)+tfracdqxdx,dxr]+qe''W,dx=0 Longrightarrow -dqxdx,dx + qe''W,dx=0 :
-ddxl[,qx(x)r] + qe'',W = 0 Longrightarrow ddxl[,qx(x)r] = qe'',W
Substituindo no balanço:
ddx!l[-k,W,t,dTdxr] = qe'',W
Dividindo por :
Mas sabemos que . Logo

Passo 4

Como -,k,W,t,d^2Tdx^2 = qe'',W Longrightarrow k,t,d^2Tdx^2 + qe'' = 0 Longrightarrow d^2Tdx^2 + qe''k,t = 0 são constantes, isso vira

Resposta

A equação diferencial que determina a distribuição de temperatura boxed% d^2Tdx^2 ;+;qe''k,t;=;0 em regime estacionário é

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