Exercício 5.

Um elemento estrutural feito de material dúctil está em estado plano de tensão com \sigma_{x}=110 \mathrm{MPa}, \sigma_{y}=15 \mathrm{MPa} e \tau_{x y}=-70 \mathrm{MPa}. Verifique a segurança do elemento utilizando (a) o critério da tensão de cisalhamento máxima e (b) o critério da energia de distorção máxima. Considere que a tensão de escoamento do material é \sigma_{E}=320 \mathrm{MPa} e \mathrm{CS}=2.

Passo 1

O enunciado dá um estado plano de tensão com \sigma_{x}=110\\ \mathrm{MPa}, \sigma_{y}=15\\ \mathrm{MPa} e \tau_{xy}=-70\\ \mathrm{MPa}.
Queremos verificar a segurança usando
(a) o critério da tensão de cisalhamento máxima (Tresca) e
(b) o critério da energia de distorção máxima (Von Mises).
A tensão de escoamento é \sigma_{E}=320\\ \mathrm{MPa} e o coeficiente de segurança desejado é \mathrm{CS}=2.

Passo 2

Calculamos as tensões principais em plano de tensão. Definimos
\sigma_\mathrm{m}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2},\quad \Delta=\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2},\quad R=\sqrt{\Delta^2+\tau_{xy}^2}.
Numericamente:
\sigma_\mathrm{m}=\frac{110+15}{2}=62{,}5\\ \mathrm{MPa}, \quad \Delta=\frac{110-15}{2}=47{,}5\\ \mathrm{MPa},
R=\sqrt{47{,}5^2+(-70)^2} =\sqrt{2256{,}25+4900} =\sqrt{7156{,}25}\approx84{,}6\\ \mathrm{MPa}.
Logo as tensões principais são
\sigma_{1}=\sigma_\mathrm{m}+R\approx62{,}5+84{,}6=147{,}1\\ \mathrm{MPa}, \quad \sigma_{2}=\sigma_\mathrm{m}-R\approx62{,}5-84{,}6=-22{,}1\\ \mathrm{MPa}.
Em plano de tensão, a terceira tensão principal é zero, e a ordenação fica \sigma_{1}=147{,}1, \sigma_{2}=0, \sigma_{3}=-22{,}1 (em \mathrm{MPa}).

Passo 3

Pela teoria de Tresca, o elemento entra em escoamento quando a máxima tensão de cisalhamento \tau_{\max}=(\sigma_{1}-\sigma_{3})/2 atinge \sigma_{E}/2.
Calculamos
\tau_{\max}=\frac{\sigma_{1}-\sigma_{3}}{2} =\frac{147{,}1-(-22{,}1)}{2} =\frac{169{,}2}{2}=84{,}6\\ \mathrm{MPa}.
Para o coeficiente de segurança \mathrm{CS}=2, a tensão de cisalhamento admissível é \tau_{\mathrm{adm}}=\dfrac{\sigma_{E}}{2\,\mathrm{CS}}=\dfrac{320}{2\cdot2}=80\\ \mathrm{MPa}.
Como
\tau_{\max}=84{,}6\\ \mathrm{MPa} > 80\\ \mathrm{MPa},
o critério de Tresca indica que o elemento não está seguro. O fator de segurança real em Tresca é
\mathrm{FS}_{\rm Tresca} =\frac{\sigma_{E}/2}{\tau_{\max}} =\frac{160}{84{,}6}\approx1{,}89<2.

Passo 4

Pela teoria de Von Mises (energia de distorção), a tensão equivalente é
\sigma_{\rm VM} =\sqrt{\sigma_x^2 - \sigma_x\sigma_y + \sigma_y^2 + 3\,\tau_{xy}^2}.
Substituindo:
\sigma_{\rm VM} =\sqrt{110^2 - 110\cdot15 + 15^2 + 3\cdot(-70)^2} =\sqrt{12100 - 1650 + 225 + 3\cdot4900} =\sqrt{25375}\approx159{,}3\\ \mathrm{MPa}.
A tensão admissível em Von Mises é \sigma_{\rm adm}=\sigma_{E}/\mathrm{CS}=320/2=160\\ \mathrm{MPa}.
Como
\sigma_{\rm VM}=159{,}3\\ \mathrm{MPa} < 160\\ \mathrm{MPa},
o critério de Von Mises diz que o elemento está seguro. O fator de segurança real é
\mathrm{FS}_{\rm VM} =\frac{\sigma_{E}}{\sigma_{\rm VM}} =\frac{320}{159{,}3}\approx2{,}01>2.

Resposta

(a) Pelo critério de cisalhamento máxima (Tresca): não está seguro \mathrm{FS}\approx1{,}89<2.
(b) Pelo critério da energia de distorção (Von Mises): está seguro \mathrm{FS}\approx2{,}01>2.

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