Exercício 1. Um gerador de números aleatórios produz inteiros entre 5 e 20, inclusive, com igual probabili-dade. Qual é a probabilidade de que o próximo número gerado seja maior que 15 ? Qual é o valor esperado e a variância?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz essas perguntas.
  • Informações dadas:
    • O gerador produz inteiros entre \,5 e \,20 (inclusivo).
    • Todos esses inteiros têm a mesma probabilidade (distribuição uniforme discreta).
  • Perguntas que o enunciado faz:
    1. Qual é a probabilidade de que o próximo número gerado seja maior que \,15?
    2. Qual é o valor esperado (esperança) dessa distribuição?
    3. Qual é a variância dessa distribuição?

Passo 2

Vamos identificar o espaço amostral e o número total de resultados possíveis.
  • Os possíveis resultados são os inteiros 5,6,7,\dots,19,20.
  • O número total de resultados (vou chamar de n) é n = 20-5+1 = 16.
Explicação rápida: como estamos contando todos os inteiros de \,5 até \,20, subtraímos e adicionamos 1 para incluir ambas as extremidades.

Passo 3

Calcular a probabilidade de que o número seja maior que \,15.
  • Os números maiores que \,15 no conjunto são 16,17,18,19,20,ou seja, há 5 resultados favoráveis.
  • Para um conjunto finito e equiprovável, a probabilidade é P(\text{maior que }15)=\frac{\text{nº favoráveis}}{\text{nº total}}=\frac{5}{16}.ºáº
  • Em decimal (usar vírgula como separador decimal): \frac{5}{16}=0{,}3125.
Breve explicação do conceito usado: probabilidade clássica em espaço finito equiprovável = razão entre casos favoráveis e casos possíveis.

Passo 4

Definição e cálculo do valor esperado (esperança) para essa distribuição.
  • Conceito: para uma variável aleatória discreta X que assume valores x_1,\dots,x_n com probabilidades iguais 1/n, a esperança é E[X]=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i.Ou, no caso de inteiros consecutivos de a a b, existe a fórmula simples E[X]=\frac{a+b}{2},porque a média aritmética dos termos de uma progressão aritmética é a média dos extremos.
  • Aplicando com a=5 e b=20: E[X]=\frac{5+20}{2}=\frac{25}{2}=12{,}5.
  • Verificação alternativa (somando e dividindo): a soma dos inteiros de \,5 a \,20 é 16\cdot 12{,}5=200, então E[X]=200/16=12{,}5.

Passo 5

Definição e estratégia para calcular a variância.
  • Conceito: variância mede a média dos quadrados das distâncias à média; formula convenientemente calculável como \operatorname{Var}(X)=E\bigl[X^2\bigr]-\bigl(E[X]\bigr)^2.Aqui E[X] já foi encontrado; precisamos de E[X^2].
  • Para E[X^2] usamos E[X^2]=\frac{1}{n}\sum_{k=5}^{20} k^2.E a soma dos quadrados de 1 a m é \sum_{k=1}^{m} k^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}.Então podemos calcular \sum_{k=5}^{20} k^2 como diferença \sum_{k=1}^{20} k^2 - \sum_{k=1}^{4} k^2.

Passo 6

Cálculo explícito de E[X^2] e da variância.
  • Calcular \sum_{k=1}^{20} k^2: \sum_{k=1}^{20} k^2 = \frac{20\cdot 21 \cdot 41}{6} = \frac{17220}{6} = 2870.
  • Calcular \sum_{k=1}^{4} k^2: \sum_{k=1}^{4} k^2 = \frac{4\cdot 5 \cdot 9}{6} = \frac{180}{6} = 30.
  • Portanto \sum_{k=5}^{20} k^2 = 2870 - 30 = 2840.
  • Logo E[X^2]=\frac{2840}{16}=177{,}5.
  • Agora a variância: \operatorname{Var}(X)=E[X^2]-\bigl(E[X]\bigr)^2=177{,}5-(12{,}5)^2.Calcular (12{,}5)^2: (12{,}5)^2 = 156{,}25.Então \operatorname{Var}(X)=177{,}5-156{,}25=21{,}25.
  • Em forma fracionária a variância é 21{,}25=\frac{85}{4}.

Passo 7

Comentário extra curto (didático): existe uma fórmula direta para a variância da distribuição uniforme discreta em inteiros consecutivos. Se n=b-a+1 é o número de pontos, então
\operatorname{Var}(X)=\frac{n^2-1}{12}.
Aqui n=16, então
\operatorname{Var}(X)=\frac{16^2-1}{12}=\frac{255}{12}=\frac{85}{4}=21{,}25,
confirmando o resultado anterior. Essa fórmula vem de calcular E[X^2] para a sequência de inteiros igualmente espaçados.

Resposta

P(\text{próximo número}>15)=\dfrac{5}{16}=0{,}3125óú
E[X]=12{,}5
\operatorname{Var}(X)=\dfrac{85}{4}=21{,}25

Exercícios relacionados