Exercício 1. Um gerador de números aleatórios produz inteiros entre 5 e 20, inclusive, com igual probabili-dade. Qual é a probabilidade de que o próximo número gerado seja maior que 15 ? Qual é o valor esperado e a variância?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz essas perguntas.
- Informações dadas:
- O gerador produz inteiros entre
e (inclusivo). - Todos esses inteiros têm a mesma probabilidade (distribuição uniforme discreta).
- O gerador produz inteiros entre
- Perguntas que o enunciado faz:
- Qual é a probabilidade de que o próximo número gerado seja maior que
? - Qual é o valor esperado (esperança) dessa distribuição?
- Qual é a variância dessa distribuição?
- Qual é a probabilidade de que o próximo número gerado seja maior que
Passo 2
Vamos identificar o espaço amostral e o número total de resultados possíveis.
- Os possíveis resultados são os inteiros
- O número total de resultados (vou chamar de
) é
Explicação rápida: como estamos contando todos os inteiros de
até
, subtraímos e adicionamos 1 para incluir ambas as extremidades.
Passo 3
Calcular a probabilidade de que o número seja maior que
.
- Os números maiores que
no conjunto são ou seja, há resultados favoráveis. - Para um conjunto finito e equiprovável, a probabilidade é
- Em decimal (usar vírgula como separador decimal):
Breve explicação do conceito usado: probabilidade clássica em espaço finito equiprovável = razão entre casos favoráveis e casos possíveis.
Passo 4
Definição e cálculo do valor esperado (esperança) para essa distribuição.
- Conceito: para uma variável aleatória discreta
que assume valores com probabilidades iguais , a esperança é Ou, no caso de inteiros consecutivos de a , existe a fórmula simples porque a média aritmética dos termos de uma progressão aritmética é a média dos extremos. - Aplicando com
e : - Verificação alternativa (somando e dividindo): a soma dos inteiros de
a é , então .
Passo 5
Definição e estratégia para calcular a variância.
- Conceito: variância mede a média dos quadrados das distâncias à média; formula convenientemente calculável como
Aqui já foi encontrado; precisamos de . - Para
usamos E a soma dos quadrados de a é Então podemos calcular como diferença .
Passo 6
Cálculo explícito de
e da variância.
- Calcular
: - Calcular
: - Portanto
- Logo
- Agora a variância:
Calcular : Então - Em forma fracionária a variância é
Passo 7
Comentário extra curto (didático): existe uma fórmula direta para a variância da distribuição uniforme discreta em inteiros consecutivos. Se
é o número de pontos, então
Aqui
, então
confirmando o resultado anterior. Essa fórmula vem de calcular
para a sequência de inteiros igualmente espaçados.