Exercício 1 (ELJ 32)
Para cada uma das funções dadas abaixo, responda:
a)
b) f(x, y)=cx^2 y^2x^2 y^2+(y-x)^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0).
i) Para quais u in R^2, existem partial fpartial u(0,0) ? Calcule.
ii) Existem partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0) ?
iii) A função f é diferenciável em (0,0) ?
iv) A função f é contínua em (0,0) ?
Passo 1
O enunciado traz duas funções f:R^2toR definidas por pedaços e pede, em cada caso, (i) derivadas direcionais em (0,0), (ii) derivadas parciais em (0,0), (iii) se f é diferenciável em (0,0) e (iv) se f é contínua em (0,0). Para isso vamos usar:
A definição de derivada direcional
Duf(0,0)=limtto0f(tu)-f(0,0)t,
A definição de derivada parcial como caso particular u=(1,0) ou u=(0,1),
A definição de diferenciabilidade em (0,0): existe matriz linear L (a jacobiana) tal que
lim(h,k)to(0,0)f(h,k)-f(0,0)-L(h,k)raizh^2+k^2=0,
E o critério de continuidade: lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0).
o que impede o limite de erro tender a zero. Assim, f não é diferenciável em (0,0).
Passo 9
Continuidade de (b):
Ao longo de y=x temos f(r,r)=1 para todo rneq0, mas f(0,0)=0. Logo o limite não é 0 e f não é contínua em (0,0).
Resposta
(a)
i) Du f(0,0) existe somente se u=(h,k) satisfaz hk=0, e nesse caso vale 0.
ii) partial f/partial x(0,0)=0, partial f/partial y(0,0)=0.
iii) f não é diferenciável em (0,0).
iv) f não é contínua em (0,0).
(b)
i) Du f(0,0) existe somente se u=(h,k) satisfaz hneq k, e nesse caso vale 0.
ii) partial f/partial x(0,0)=0, partial f/partial y(0,0)=0.
iii) f não é diferenciável em (0,0).
iv) f não é contínua em (0,0).