Exercício 1 (ELJ 32)
Para cada uma das funções f: R^2 R dadas abaixo, responda:
a) f(x, y)=cx yx^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)
b) f(x, y)=cx^2 y^2x^2 y^2+(y-x)^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0).
i) Para quais u in R^2, existem partial fpartial u(0,0) ? Calcule.
ii) Existem partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0) ?
iii) A função f é diferenciável em (0,0) ?
iv) A função f é contínua em (0,0) ?

Passo 1

O enunciado traz duas funções f:R^2toR definidas por pedaços e pede, em cada caso, (i) derivadas direcionais em (0,0), (ii) derivadas parciais em (0,0), (iii) se f é diferenciável em (0,0) e (iv) se f é contínua em (0,0). Para isso vamos usar:
  • A definição de derivada direcional
Duf(0,0)=limtto0f(tu)-f(0,0)t,
  • A definição de derivada parcial como caso particular u=(1,0) ou u=(0,1),
  • A definição de diferenciabilidade em (0,0): existe matriz linear L (a jacobiana) tal que
lim(h,k)to(0,0)f(h,k)-f(0,0)-L(h,k)raizh^2+k^2=0,
  • E o critério de continuidade: lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0).

Passo 2

Função (a):
f(x,y)= dfracxyx^2+y^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0)
Seja u=(h,k). Então, para tneq0,
f(t h,t k) =(t h)(t k)(t h)^2+(t k)^2 =h kh^2+k^2 Longrightarrow f(th,tk)-0t =h kh^2+k^2,1t
Esse limite em tto0 só é finito se h k=0, caso em que dá zero. Concluímos:
Du f(0,0) existe ss h k=0 e então Du f(0,0)=0 ã

Passo 3

Derivadas parciais de (a):
  • Para partial f/partial x, tome u=(1,0) ( h=1,k=0). Então já vimos que D(1,0)f(0,0)=0.
  • Para partial f/partial y, tome u=(0,1) ( h=0,k=1). Então D(0,1)f(0,0)=0.
    Logo
partial fpartial x(0,0)=0, partial fpartial y(0,0)=0

Passo 4

Diferenciabilidade de (a):
Se f fosse diferenciável em (0,0), a aplicação linear seria L(h,k)=0cdot h+0cdot k=0. O erro é
f(h,k)-0-L(h,k)raizh^2+k^2 =hkh^2+k^2raizh^2+k^2 =hk(h^2+k^2)^3/2
Mas ao andar por h=k=r/raiz2 isso vira
r^2/2(r^2)^3/2 =r^2/2r^3 =12rtoinfty (rto0),
logo não tende a zero e f não é diferenciável em (0,0).

Passo 5

Continuidade de (a):
Pelas mesmas retas y=x e y=-x temos
f(r,r)=r^22r^2=12, f(r,-r)=-12,
que não convergem a 0=f(0,0). Logo f não é contínua em (0,0).

Passo 6

Função (b):
f(x,y)= dfracx^2y^2x^2y^2+(y-x)^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0)
Para u=(h,k), tneq0:
f(th,tk) =t^4h^2k^2t^4h^2k^2+t^2(k-h)^2 =t^2h^2k^2t^2h^2k^2+(k-h)^2,
e
f(th,tk)-0t =t,h^2k^2t^2h^2k^2+(k-h)^2
Ao tomar tto0:
  • Se kneq h, o denominador tende a (k-h)^2neq0 e o numerador a 0, logo o limite é 0.
  • Se k=h, o denominador é t^2h^4 e o numerador t,h^4, de modo que o quociente é 1/t^3 e diverge.
    Então
Du f(0,0) existe ss kneq h e então Du f(0,0)=0 ã

Passo 7

Derivadas parciais de (b):
  • partial f/partial x é D(1,0)f(0,0). Aqui h=1,k=0, k-h=-1neq0, logo existe e vale 0.
  • partial f/partial y é D(0,1)f(0,0). Aqui h=0,k=1, k-h=1neq0, logo existe e vale 0.
    Portanto
partial fpartial x(0,0)=0, partial fpartial y(0,0)=0

Passo 8

Diferenciabilidade de (b):
Se f fosse diferenciável, de novo teríamos L(h,k)=0. Mas ao aproximar por y=x ( h=k), para todo tneq0
f(t,t)=1Longrightarrow f(t,t)-0raizt^2+t^2 =1traiz2toinfty,
o que impede o limite de erro tender a zero. Assim, f não é diferenciável em (0,0).

Passo 9

Continuidade de (b):
Ao longo de y=x temos f(r,r)=1 para todo rneq0, mas f(0,0)=0. Logo o limite não é 0 e f não é contínua em (0,0).

Resposta

(a)
i) Du f(0,0) existe somente se u=(h,k) satisfaz hk=0, e nesse caso vale 0.
ii) partial f/partial x(0,0)=0, partial f/partial y(0,0)=0.
iii) f não é diferenciável em (0,0).
iv) f não é contínua em (0,0).
(b)
i) Du f(0,0) existe somente se u=(h,k) satisfaz hneq k, e nesse caso vale 0.
ii) partial f/partial x(0,0)=0, partial f/partial y(0,0)=0.
iii) f não é diferenciável em (0,0).
iv) f não é contínua em (0,0).

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