6 Calcule
integralC(y^2 cos (x)+z^3) d x-(4-2 y sen(x)) d y+(3 x z^2+2) d z
onde C é a hélice parametrizada por gamma(t)=(sen(t), cos (t), t), com 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha
integralCl(y^2cos(x)+z^3r),dx-l(4-2ysin(x)r),dy+l(3xz^2+2r),dz
ao longo da hélice parametrizada por gamma(t)=(sin t,cos t,t), 0<= t<=2pi. O conteúdo é verificar se o campo F=(P,Q,R) é conservativo e, em caso afirmativo, usar a função potencial para aplicar o Teorema Fundamental da Integral de Linha.

Passo 2

Verificamos se F é conservativo, ou seja, se
P=y^2cos(x)+z^3, Q=-4+2ysin(x), R=3xz^2+2
satisfazem as igualdades
partial Ppartial y=2ycos(x), partial Qpartial x=2ycos(x),
partial Ppartial z=3z^2, partial Rpartial x=3z^2,
partial Qpartial z=0, partial Rpartial y=0
Como todas coincidem, F é conservativo num domínio simplesmente conexo.

Passo 3

Procuramos f(x,y,z) tal que
fx=P, fy=Q, fz=R
Integrando fx=y^2cos(x)+z^3 em relação a x,
f(x,y,z)=y^2sin(x)+x,z^3+h(y,z)
Da condição fy=Q=-4+2ysin(x) vem
2ysin(x)+hy=-4+2ysin(x)Longrightarrow hy=-4
logo h(y,z)=-4y+g(z). Por fim, de fz=3xz^2+2 obtemos
3xz^2+g'(z)=3xz^2+2Longrightarrow g'(z)=2Longrightarrow g(z)=2z
Assim
f(x,y,z)=y^2sin(x)+x,z^3-4y+2z

Passo 4

Avaliamo-s f nos pontos inicial e final da hélice:
gamma(0) = (0,1,0) Longrightarrow f(0,1,0) = 1^2 sin 0 + 0 - 4 cdot 1 + 2 cdot 0 = -4,
gamma(2pi) = (0,1,2pi) Longrightarrow f(0,1,2pi) = 1^2 sin 0 + 0 - 4 + 2 cdot (2pi) = 4pi - 4

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental da Integral de Linha para campos conservativos,
integralC Fcdot d r=fl(gamma(2pi)r)-fl(gamma(0)r) =(4pi-4)-(-4)=4pi

Resposta

4pi

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