Use o teorema de Gauss para determinar o fluxo do campo F através da superfície S orientada positivamente, onde:
F(x, y, z)=(z^2+y^2) i+(y^2-2 z y) j+(4 x-2 y x) k e S é a fronteira do sólido W dado por z=raizx^2+y^2, z=3.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de vec F pela superfície fechada S, que é a fronteira do sólido W limitado pela superfície cônica z=raizx^2+y^2 e pelo plano z=3. Como S é fechada e orientada para fora, vamos usar o Teorema de Gauss (ou Divergência):
Phi = integral duplaSvec Fcdothat n,dS = integral triplaW nabla!cdot!vec F ,dV

Passo 2

Calculamos a divergência de vec F(x,y,z)=(z^2+y^2), i+(y^2-2zy), j+(4x-2yx), k:
nabla!cdot!vec F =partialpartial x(z^2+y^2) +partialpartial y(y^2-2zy) +partialpartial z(4x-2yx) =0 + (2y-2z) + 0 =2y-2z

Passo 3

Escolhemos coordenadas cilíndricas (r,theta,z) com x=rcostheta, y=rsintheta. No sólido W temos
0<= r<=3, 0<=theta<=2pi, r<= z<=3
O elemento de volume é dV=r,dz,dr,dtheta. Assim
Phi = integral triplaW(2y-2z),dV =integral0^2pi!integral0^3!integralz=r^3l(2rsintheta-2zr),r,dz,dr,dtheta

Passo 4

Fazendo a integral em z:
integralz=r^3(2rsintheta-2z),dz =2rsintheta,(3-r);-;2integralr^3z,dz =2r^2sintheta(3-r);-;(9-r^2)
Logo o integrando em r,theta fica
2r^2sintheta(3-r);-;r,(9-r^2)

Passo 5

Ao integrar em theta de 0 a 2pi, o termo com sintheta zera. Resta
Phi =integral0^2pidthetaintegral0^3!-!r(9-r^2),dr =2pil[-integral0^3(9r-r^3),drr]
Calculamos
integral0^3(9r-r^3),dr =l[tfrac92r^2-tfrac14r^4r]0^3 =814

Passo 6

Substituindo, obtemos
Phi =2pil(-814r) =-81pi2

Resposta

O fluxo de vec F através de S é -81pi2.

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