Exercício 2. (ELJ 39) Estude a diferenciabilidade da função e ache e sua matriz nos seguintes casos: é dado por , em que e são diferenciáveis.
Passo 1
O enunciado pede para estudarmos a diferenciabilidade da aplicação
sabendo que e são diferenciáveis. Vamos usar a propriedade de que soma de funções diferenciáveis é diferenciável e a definição de diferencial para aplicações entre espaços euclidianos.
Passo 2
Como e são diferenciáveis, elas são aproximáveis por seus diferenciais em cada ponto. Logo, a soma
é diferenciável em qualquer ponto , pois a soma de funções diferenciáveis é diferenciável. Em particular, existe uma aplicação linear
que aproxima primeiro–ordem em torno de .
Passo 3
Para ver explicitamente como age , tomamos um incremento . Usando a linearidade do diferencial e a independência de variáveis,
Ou seja, o diferencial de no ponto envia o vetor na soma dos diferenciais de e de sobre os componentes respectivos.
Passo 4
Na base canônica de e , a matriz de é uma matriz que denotamos por , e a de é uma denotada por . Então a matriz de é a concatenação horizontal dessas duas:
que é uma matriz de tamanho ktimes(n+m).
Resposta
A função F é diferenciável em todo R^ntimesR^m. Seu diferencial é