Exercício 2. (ELJ 39) Estude a diferenciabilidade da função F e ache d F(p) e sua matriz nos seguintes casos:
F: R^n times R^m R^k é dado por F(x, y)=f(x)+g(y), em que f: R^n R^k e f: R^m R^k são diferenciáveis.

Passo 1

O enunciado pede para estudarmos a diferenciabilidade da aplicação
Fcolon R^ntimesR^mtoR^k, F(x,y)=f(x)+g(y),
sabendo que fcolonR^ntoR^k e gcolonR^mtoR^k são diferenciáveis. Vamos usar a propriedade de que soma de funções diferenciáveis é diferenciável e a definição de diferencial para aplicações entre espaços euclidianos.

Passo 2

Como f e g são diferenciáveis, elas são aproximáveis por seus diferenciais em cada ponto. Logo, a soma
F(x,y)=f(x)+g(y)
é diferenciável em qualquer ponto (x,y), pois a soma de funções diferenciáveis é diferenciável. Em particular, existe uma aplicação linear
dF(x,y)colon R^ntimesR^m ;to;R^k
que aproxima F primeiro–ordem em torno de (x,y).

Passo 3

Para ver explicitamente como age dF(x,y), tomamos um incremento (h,k)inR^ntimesR^m. Usando a linearidade do diferencial e a independência de variáveis,
dF(x,y)(h,k) =dl(f(x)+g(y)r)(h,k) =df(x)(h)+dg(y)(k)
Ou seja, o diferencial de F no ponto (x,y) envia o vetor (h,k) na soma dos diferenciais de f e de g sobre os componentes respectivos.

Passo 4

Na base canônica de R^ntimesR^m e R^k, a matriz de df(x) é uma matriz ktimes n que denotamos por D f(x), e a de dg(y) é uma ktimes m denotada por D g(y). Então a matriz de dF(x,y) é a concatenação horizontal dessas duas:
D F(x,y) ;=;l[D f(x);m|;D g(y)r],
que é uma matriz de tamanho ktimes(n+m).

Resposta

A função F é diferenciável em todo R^ntimesR^m. Seu diferencial é
dF(x,y)(h,k)=df(x)(h)+dg(y)(k),
e, nas bases canônicas, a matriz de dF(x,y) é
D F(x,y)=l[D f(x);m|;D g(y)r]

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