Encontre a derivada da função.
F(t)=e^t sin 2 t

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
F(t)=e^tsin(2t)
Aqui vamos usar a regra da cadeia, pois F(t) é uma exponencial cujo expoente é a função
g(t)=tsin(2t)

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, primeiro derivamos a função interna
g(t)=tsin(2t)
Como é produto de u(t)=t por v(t)=sin(2t), usamos a regra do produto:
g'(t)=u'(t),v(t)+u(t),v'(t)

Passo 3

Calculamos cada derivada:
  • u'(t)=1
  • Para v(t)=sin(2t), aplicamos de novo a regra da cadeia:
v'(t)=cos(2t)cdotddt(2t) =cos(2t)cdot 2 =2cos(2t)
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g'(t)=1cdot sin(2t)+tcdot 2cos(2t) =sin(2t)+2tcos(2t)

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia em
F(t)=e^g(t)
A derivada é
F'(t)=e^g(t)cdot g'(t)
Substituindo g(t) e g'(t), temos
F'(t) =e^,tsin(2t)l(sin(2t)+2tcos(2t)r)

Resposta

F'(t)=e^tsin(2t)l(sin(2t)+2tcos(2t)r)

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