Exercício 2. (ELJ 39) Estude a diferenciabilidade da função F e ache d F(p) e sua matriz nos seguintes casos:
F: R^n R é dado por F(x)=lang<= x, A xrang<=, em que A: R^n R^n é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a diferenciabilidade de
Fcolon R^n to R, F(x)=lang<= x,Axrang<=,
onde AcolonR^ntoR^n é linear.
Conteúdo: forma quadrática e propriedades de diferenciabilidade de funções de classe C^1. Vamos usar a expansão de F(p+h) e mostrar que o termo restante é o(lVert hrVert).

Passo 2

Fixamos pinR^n e um incrementinho h. Então
F(p+h) =lang<= p+h,,A(p+h)rang<= =lang<= p,Aprang<= + lang<= h,Aprang<= + lang<= p,Ahrang<= + lang<= h,Ahrang<=
Reagrupamos:
F(p+h)-F(p) =underbracelang<= h,Aprang<=+lang<= p,Ahrang<=termo linear em h ;+;lang<= h,Ahrang<=

Passo 3

Precisamos ver que lang<= h,Ahrang<= é o(lVert hrVert). Como A é linear e contínuo, existe constante C tal que
|lang<= h,Ahrang<=|<=lVert hrVert,lVert AhrVert<= C,lVert hrVert^2
Logo lang<= h,Ahrang<=/lVert hrVertto0 quando hto0. Isso mostra que o erro é negligenciável e que F é diferenciável em p.

Passo 4

Dessa expansão, o diferencial dF(p) é a parte linear em h:
dF(p)(h) =lang<= h,Aprang<=+lang<= p,Ahrang<=
Podemos também escrever
dF(p)(h) =lang<= h,,(A+A^T),prang<=,
pois lang<= p,Ahrang<==lang<= A^Tp,hrang<=.

Passo 5

Em coordenadas canônicas, o gradiente de F em p é
nabla F(p)=(A+A^T),p,
e a matriz Jacobiana ( 1timesn) de F em p é o vetor linha
l((A+A^T),pr)^T =p^T(A+A^T)

Resposta

F é diferenciável em todo R^n e, para cada p,
dF(p)(h)=lang<= h,Aprang<=+lang<= p,Ahrang<= Longrightarrow nabla F(p)=(A+A^T)p,
com matriz Jacobiana p^T(A+A^T).

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