Exercício 4. (ELJ 41) Dado
, vamos escrever
para dizer que
é a matriz cujas linhas são
e
. Usando esta notação, mostre que det :
é uma função diferenciável. Calcule
, em que
é a matriz identidade.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a aplicação
é diferenciável, usando a notação
para indicar que são as linhas de
. Em seguida, devemos calcular
é diferenciável, usando a notação
para indicar que
isto é, o diferencial de
no ponto
aplicado à matriz identidade
.
Passo 2
Como função das linhas,
é multilinear e alternante: para
com linhas
,
Pela multilinearidade expandimos em soma de
termos, mas os termos em que aparecem dois ou três
são de ordem pelo menos
. Assim obtemos
Passo 3
Pela definição de diferencial, o termo que multiplica linearmente
é
Isso mostra que
é diferenciável e dá sua diferencial em qualquer
.
Passo 4
Agora tomamos
. As linhas de
são
Logo
Passo 5
Cada determinante acima é um menor principal de ordem
:
Somando,
que é exatamente a soma dos cofatores diagonais de
, i.e.\ o traço de
.
Resposta
ou seja,