Exercício 4. (ELJ 41) Dado A in M3(R), vamos escrever A=(A1, A2, A3) para dizer que A é a matriz cujas linhas são A1, A2 e A3. Usando esta notação, mostre que det : M3(R) R é uma função diferenciável. Calcule d(det)(A)(I), em que I é a matriz identidade.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a aplicação
detcolon M3(R)toR
é diferenciável, usando a notação
,A=(A1,A2,A3)
para indicar que A1,A2,A3inR^3 são as linhas de A. Em seguida, devemos calcular
d(det)(A)(I),
isto é, o diferencial de det no ponto A aplicado à matriz identidade I.

Passo 2

Como função das linhas, det é multilinear e alternante: para A+H com linhas Ai+Hi,
det(A+H) =detl(A1+H1,,A2+H2,,A3+H3r)
Pela multilinearidade expandimos em soma de 2^3 termos, mas os termos em que aparecem dois ou três Hi são de ordem pelo menos |H|^2. Assim obtemos
det(A+H) =det(A1,A2,A3) +l[det(H1,A2,A3)+det(A1,H2,A3)+det(A1,A2,H3)r] +o(|H|)

Passo 3

Pela definição de diferencial, o termo que multiplica linearmente H é
d(det)(A)(H) =det(H1,A2,A3) +det(A1,H2,A3) +det(A1,A2,H3)
Isso mostra que det é diferenciável e dá sua diferencial em qualquer A.

Passo 4

Agora tomamos H=I. As linhas de I são
H1=(1,0,0), H2=(0,1,0), H3=(0,0,1)
Logo
d(det)(A)(I) =detl((1,0,0),A2,A3r) +detl(A1,(0,1,0),A3r) +detl(A1,A2,(0,0,1)r)

Passo 5

Cada determinante acima é um menor principal de ordem 2:
detl((1,0,0),A2,A3r) = A2,2 cdot A3,3 - A2,3 cdot A3,2,
detl(A1,(0,1,0),A3r) = A1,1 cdot A3,3 - A1,3 cdot A3,1,
detl(A1,A2,(0,0,1)r) = A1,1 cdot A2,2 - A1,2 cdot A2,1
Somando,
d(det)(A)(I) = (A2,2 A3,3 - A2,3 A3,2) + (A1,1 A3,3 - A1,3 A3,1) + (A1,1 A2,2 - A1,2 A2,1),
que é exatamente a soma dos cofatores diagonais de A, i.e.\ o traço de adj(A).

Resposta

d(det)(A)(I) =(A2,2A3,3-A2,3A3,2) +(A1,1A3,3-A1,3A3,1) +(A1,1A2,2-A1,2A2,1),
ou seja,
d(det)(A)(I)=trl(adj(A)r)

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