Determine o intervalo de convergência e o raio de cada série de potência abaixo:
sumn=1^infty(-1)^n x^nraizn

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potência centrada em zero
sumn=1^infty(-1)^n,x^nraizn
O conteúdo que vamos usar inclui o teste da raiz (ou razão) para obter o raio e, em seguida, análise nos extremos pelo teste de Leibniz e teste da série p.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz:
limsupntoinftyraiz[n]l|(-1)^n,tfracx^nraiznr| =limntoinftyl(|x|cdot n^-1/(2n)r) =|x|cdot1 =|x|
Pela condição de convergência do teste da raiz, a série converge se |x|<1 e diverge se |x|>1. Portanto o raio de convergência é
R=1

Passo 3

Concluímos que a série converge absolutamente no intervalo aberto
|x|<1,
isto é, para -1<x<1.

Passo 4

Analisamos os extremos x=1 e x=-1:
  1. Para x=1 a série fica
sumn=1^infty(-1)^n,1^nraizn =sumn=1^infty(-1)^n,1raizn
Os termos tfrac1raizn são positivos, decrescentes e tendem a zero, então pela série alternante de Leibniz há convergência condicional.
  1. Para x=-1 a série fica
sumn=1^infty(-1)^n,(-1)^nraizn =sumn=1^infty1raizn,
que é uma série p com p=tfrac12<=1, logo diverge.

Resposta

O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é
(-1,1]

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