Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
sumn=1^infty 3+cos (n pi)n^2

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar a convergência da série
sumn=1^infty3+cos(npi)n^2,
O conteúdo aqui é estudo de séries numéricas, em especial p-séries e teste de comparação para convergência absoluta.

Passo 2

Observe que
cos(npi)=(-1)^n,
logo o termo geral pode ser escrito como
an=3+(-1)^nn^2,
Além disso, como 3+(-1)^n assume só os valores 2 ou 4, temos
l|3+(-1)^nr|<=4 Longrightarrow gl|3+(-1)^nn^2gr|<=4n^2,

Passo 3

A série
sumn=1^infty4n^2
é uma p-série com p=2>1, portanto converge. Como lvert anrvert<=4/n^2 e a série de 4/n^2 converge, pelo teste de comparação a série original sum an converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^infty3+cos(npi)n^2 converge absolutamente e, portanto, converge.

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