Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
sumn=1^infty raiz[3]sen((3 n+1) pi) cdot 4n^5

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^infty raiz[3]senl((3n+1)pir);4n^5
O conteúdo aqui é simplificar o termo geral usando identidades trigonométricas e, em seguida, concluir sobre a soma.

Passo 2

Usamos a identidade
senl((3n+1)pir) =sen(3npi+pi) =sen(3npi)cospi+cos(3npi)sinpi
Como sen(3npi)=0 e sinpi=0, segue que
senl((3n+1)pir)=0

Passo 3

Daí o termo geral da série fica
an =raiz[3]senl((3n+1)pir);4n^5 =raiz[3]0;4n^5=0
Portanto, cada an=0.

Passo 4

Se todos os termos de uma série são zero, a soma parcial SN=sumn=1^Nan=0 para todo N. Logo, a série converge trivialmente (e converge absolutamente).

Resposta

A série converge, pois todo termo é zero e a soma parcial é constante igual a zero.

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