Exercício 8. (ELJ 51) Use a regra da cadeia para resolver os itens abaixo:
Mostre que se
e
são funções diferenciáveis, então
dado por
é derivável. Calcule
.
Mostre que se
Passo 1
O enunciado define três funções diferenciáveis:
,
e
. A composição é
dada por
O objetivo é mostrar que
é diferenciável e calcular
usando a regra da cadeia multivariada.
Passo 2
Definimos a função vetor
Como
,
e a função identidade
são diferenciáveis, a aplicação
também é diferenciável. Logo podemos escrever
Passo 3
Pela regra da cadeia para a composição de
com
, vale
onde
é o gradiente de
em
e
é a derivada de
.
Passo 4
Calculamos separadamente:
Avaliando em
e fazendo o produto escalar, obtemos