Exercício 8. (ELJ 51) Use a regra da cadeia para resolver os itens abaixo:
Mostre que se f: R R, g: R R e F: R^3 R são funções diferenciáveis, então omega: R R dado por omega(t)=F(f(t), g(t), t) é derivável. Calcule d omegad t(t).

Passo 1

O enunciado define três funções diferenciáveis:
fcolon RtoR, gcolon RtoR e Fcolon R^3toR. A composição é
omegacolon RtoR dada por
omega(t)=Fl(f(t),g(t),tr)
O objetivo é mostrar que omega é diferenciável e calcular dfracdomegadt(t) usando a regra da cadeia multivariada.

Passo 2

Definimos a função vetor
h(t)=l(f(t),,g(t),,tr)inR^3
Como f, g e a função identidade tmapsto t são diferenciáveis, a aplicação h também é diferenciável. Logo podemos escrever
omega = Fcirc h

Passo 3

Pela regra da cadeia para a composição de FcolonR^3toR com hcolonRtoR^3, vale
omega'(t) = D Fl(h(t)r);cdot;h'(t),
onde D F(x,y,z) é o gradiente de F em (x,y,z) e h'(t) é a derivada de h.

Passo 4

Calculamos separadamente:
h'(t)=l(f'(t),,g'(t),,1r), D F(x,y,z) =l(partial Fpartial x,,partial Fpartial y,,partial Fpartial zr)
Avaliando em l(f(t),g(t),tr) e fazendo o produto escalar, obtemos
omega'(t) =partial Fpartial xl(f(t),g(t),tr),f'(t) +partial Fpartial yl(f(t),g(t),tr),g'(t) +partial Fpartial zl(f(t),g(t),tr)cdot1

Resposta

domegadt(t) =partial Fpartial xl(f(t),g(t),tr),f'(t) +partial Fpartial yl(f(t),g(t),tr),g'(t) +partial Fpartial zl(f(t),g(t),tr)

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